新编地图学教程新编地图学教程 电子教案 第第 2 2 章章 地图的数学基础地图的数学基础 第第 2 2 章章 地图的数学基础地图的数学基础 1 1 地球体地球体 2 2 地球坐标系与大地定位地球坐标系与大地定位 3 3 地图投影地图投影 4 4 地图投影的应用地图投影的应用 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1 地球体地球体 1.1 1.1 地球的自然表面地球的自然表面 为了了解地球的形状，让我们由远及近地 观察一下地球的自然表面。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 机舱窗口俯视大地机舱窗口俯视大地 : : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体 。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1.2 1.2 地球的物理表面地球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向 （铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相 重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地 水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面 。它所包围的形体称为大地体。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 大地水准面大地水准面的意义的意义 1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与 面下缺少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值， 但在制图业务中，均把地球当作正球体。 3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地 水准面的高度）。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1.2 1.2 地球的数学表面地球的数学表面 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋 转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。 它是一个规则的 数学表面，所以人 们视其为 地球体 的数学表面，也是 对地球形体的二级 逼近，用于测量计 算的基准面。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b WGS world geodetic system 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2 a - b 6378137 - 6356752.3 f = = a 6378137 1 = 298.257 f 对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面 与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的 一个地球椭球体 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位 。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏 联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理 学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾 阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。 陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980西 安坐标系” 大地坐标 的起算点大地原 点。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。 2 地球坐标系与大地定位地球坐标系与大地定位 2.1 2.1 地理坐标地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 天文经纬度：表示地面点在大地水准面大地水准面上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。 2.1 2.1 地理坐标地理坐标 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 2.1 2.1 地理坐标地理坐标 大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线 ）与赤道平面的夹角。北 纬为正，南纬为负。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面参考椭球面上某 点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 2.1 2.1 地理坐标地理坐标 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2.22.2 中国的大地坐标系统中国的大地坐标系统 1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2.中国的大地控制网 平面控制网 : 按统一规范，由精 确测定地理坐标的地面点组成， 由三角测量或导线测量完成，依 精度不同，分为四等。 2.22.2 中国的大地坐标系统中国的大地坐标系统 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布 全国各地。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点 组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同 ，分为四等。 中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代黄海平均海水面 其比黄海平均海水面 上升 29毫米。 青岛观象山 水准原点 2.22.2 中国的大地坐标系统中国的大地坐标系统 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 绝对高程 相对高程 国家水准原点 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 平面控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 高程控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 水准面示意图 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 GPS控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2.3 2.3 全球定位系统全球定位系统 - - GPSGPS 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以 人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时 动态定位、定时及导航服务。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1. GPS系统由三个独立的部分组成 空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在 高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨道 面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球 上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它 向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系 统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据处 理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户 的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的 距离和航向或提供图示。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2. GPS系统定位原理 数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z） 。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4 个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成 4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。 通过测量卫星信号到 达接收机的时间延迟，即 可算出用户到卫星的距离 。再根据三维坐标中的距 离公式，利用3颗卫星的 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 3.常用GPS测量模式 常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安 置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时 段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于 建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 。 快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS 接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机 依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控 制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。 这种方法要 求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基 准点相距应不超过20km。 静态测量模式 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续 跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各 待测测站，每测站观测几个历