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Mathematics Laboratory 阮小娥博士 Experiments in Mathematics 赵小艳 数学实验 办公地址:理科楼218 实验13 人口预测与数据拟合 2、了解利用最小二乘法进行 数据拟合的基本思想,掌握 用数据拟合法寻找最佳拟合 曲线的方法。 3、了解多元函数的极值在 数据拟合法中的应用。 实验目的 1、学会用MATLAB软件进行数 据拟合。 4、通过对实际问题进行分 析研究,初步掌握建立数 据拟合数学模型的方法。 据人口统计年鉴,知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下: (人口数单位为:百万) (1)在直角坐标系上作出人口数的图象。 (2)建立人口数与年份的函数关系,并估算1999年 的人口数。 实验问题 年份 1949 1954 1959 1964 1969 人口数 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 年份 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 如何确定a,b? 线性模型 1 曲线拟合问题的提法: 已知一组(二维)数据,即平面上的n个点),( ii yx, i xni, 2 , 1L=互不相同,寻求一个函数(曲线))(xf y = , 使)(xf在观测点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种 x y 0 + + + + + + + + 一、曲线拟合 准则下最为接近,即曲线拟合得最好,如图 从几何上讲,并不要求曲线严格通过已知点,但 要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误 差最小,通常称为数据拟合。 达到最小。 最小二乘准则 而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和 数据插值 已知一组(二维)数据,即平面上的n个点),( ii yx, i xni, 2 , 1L=互不相同,寻求一个函数(曲线))(xf y = 数据插值 . 用什么样的曲线拟合已知数据? 常用的曲线函数系ri(x)类型: )画图观察; )理论分析 指数曲线: 双曲线(一支): 多项式: 直线: 例如 指数函数拟合 三角函数拟合 多项式拟合 拟合函数组中系数的确定 4 用matlab软件进行数据拟合 (1)lsqcurvefit命令-最小二乘拟合 a= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) a,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 是根据给定的数据xdata,ydata,按照函 数文件fun给定的函数,以x0为初值做最小 二乘拟合,返回函数中的系数向量a和残差 平方和resnorm。 例 首先编写函数文件 function y=f(a,x) f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3 保存为f.m,其次调用该函数 x=0:0.1:1; y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17; a0=0 0 0; x,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y) 也可以用inline命令定义函数 x=0:0.1:1; y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.1 7; f=inline(a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,a,x); a0=0 0 0; a,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y) plot(x,y,*) hold on g=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3; plot(x,g,r-) a = polyfit(xdata,ydata,n) w其中n表示多项式的最高阶数 wxdata,ydata 为要拟合的数据,它是用向 量的方式输入。 w输出参数a为拟合多项式 y = anxn + + a1x + a0的系数a = an, , a1, a0。 w多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x) 由于高次多项式曲线变化不稳定,所以多项式次数的选取不 宜过高。 (2) polyfit命令-多项式曲线拟合 例如 clear;clc; x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2; plot(x,y,k.,markersize,25); axis(0 1.3 -2 16); p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6) t=0:0.01:1.2; s=polyval(p3,t); s1=polyval(p6,t); hold on plot(t,s,r-,linewidth,2); plot(t,s1,b-,linewidth,2); grid 二、人口预测线性模型 对于开始提出的实验问题, 代如数据,计算得 从而得到人口数与年份的函数关系为 把x=1999代如,估算出1999年的人口数为 y=1252.1(百万)12.52亿 1999年实际人口数量为.亿。 线性预测模型 英国统计学家Malthus于1798年提出了一种关于 生物种群繁殖的指数增长模型:假设种群数量的增 长率与该时刻种群的个体数量成正比。 三、人口预测的Malthus模型 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) 时刻t 的人口, t=0时人口数为x0 指数增长模型 实际中,常用 1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。 2. 预测后100年(每隔10年)的人口状况。 3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人 口模型的改进情况。 美国1790年1980年每隔10年的人口记录 226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.5 92.076.062.9 人口( 百万) 1980197019601950194019301920191019001890年份 50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9 人口( 百万) 1880187018601850184018301820181018001790年份 例 解: 取得最小值.其中, 表示人口数量 。 表示年份, 解方程组: 即得参数的值. 使得问题转化为求参数 % This program is to predict the number of population % format long t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187 0;1880; t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197 0;1980; x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50. 2; x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179. 3;204.0;226.5; lnx1=log(x1); lnx2=log(x2); a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2; ab=inv(A)*D; disp(a=);disp(ab(1); disp(b=);disp(ab(2); for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i); end for i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i); end plot(t1,x1,r*-, t2,x2,r*-, t1,xx1,b+-,t2,xx2,b+-, linewidth,3,markersize,10); a= -49.79535457790735 b=0.02859807120038 仿真结果表明 : 人口增加的 指数模型在短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律,但 长期预测误差 很大,需要修 正预测模型。 拟合曲线 原始数据曲线 四、人口预测的Logistic模型 如果人口的增长符合Malthus模型,则当 人口增长到一定数量后,增长率下降的原因: 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 1838年,荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作 了进一步分析后指出:导致上述不符合实际情况的 主要原因是未能考虑“密度制约”因素。 即最终导致地球上人口爆炸,这与实际是不相符的。 且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数 假设r固有增长率(x很小时) k人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) 例的Logistic模型留给同学们练习 a =1.0e+006 * -0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427 红色的是原始数据曲线 蓝色的是4次多项式拟合曲线 仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能 比较准确地反映人口自然增长的规律,对长期预 测具有指导意义。 五、人口预测的多项式模型 -zhao105 例2: 海底光缆线长度预测模型 某一通信公司在一次施 工中,需要在水面宽为 20m的河沟底沿直线走 向铺设一条沟底光缆. 在铺设光缆之前需要对 沟底的地形做初 B 2 4 6 8 1012 14 16 18 20 9 8 6 4 2 0 A D C 探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示. 25 步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算 提供依据.基本情况如图所示. 10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32 2019181716151413121110 13.2812.2611.1810.13 9.058.027.967.968.969.01深度 (m) 9876543210分点 21个等分点处的深度 (1) 预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值. (2) 作出铺设沟底光缆的曲线图. 解: 用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下 仿真结果表 明,拟合曲线 能较准确地 反映光缆的 走势图. The length of the label is L= 26.3809 (m) 假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地 走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击. % prog45.m This program is to fit the data by polynomial % format long t=linspace(0,20,21); x=linspace(0,20,100); P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.2 8,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.8 0,10.93; a,s=polyfit(t,P,12); yy=polyval(a,x); disp(yy=);disp(yy); plot(x,yy,r*-,t,P,b+-); L=0; fo
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