11 动量定理 动量与冲量 动量定理 质心运动定理 用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难 。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质 点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（ 冲量、冲量矩、功）之间的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有 明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究 质点系整体的运动情况。 动力学普遍定理概述 对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要 讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定 理及由此推导出来的其它一些定理)。在应用普遍定理解决实际 问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义， 便于更深入地研究机械运动的规律。 它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动 特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量( 冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机 械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动 力学问题非常方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式质心运动定理。 11.1 动量与冲量 11.1.1 动量 1）质点的动量 质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。 动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 kgm/s。 2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的 动量。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 3）质心及用质心速度求质点系动量 定义质点系质量中心(质心) C 的矢径 则 质点系的动量等于质 点系的质量与质心速 度的乘积。 动量 例3、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位 置时，OA杆的角速度为w，AB杆相对OA杆的角速度亦为w 。求此瞬时系统的动量。 解：由刚体系统的动量公式 其中： 方向水平向右。 mvC1 mvC2 O A B C1 C2 w wr=w AB作平面运动 例1 OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆 盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m 20 kg，半径R100 mm。在图示位 置时，OA杆的倾角为30 o，其角速度 w11 rad/s，圆盘相对OA杆转动的角 速度w24 rad/s，, 求 圆盘的动量。 于是 所以 方向水平向右。 动量计算 解:取C为动点，动系与OA固连 例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为 2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和 B的的质量均为m2。已知OCAC CBl。曲柄和规尺均为均质细直杆 。曲柄以角速度w转动。求机构的动 量。 解1：由质点系动量公式有 建立如图直角坐标系，则动量的投影为 动量计算 所以机构动量的大小和方向为 解2： 方向为C点速度的方向。 因为 得 111 动量与冲量 冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为Ns，与动 量的量纲相同。 常力的冲量 变力的冲量元冲量 而力 在作用时间 内的冲量是矢量积分 2冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 1 质点的动量定理 质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。 微分形式 11.2 动量定理 在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点的力在此段时间内的冲量。 积分形式 2 质点系的动量定理 设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi，作用在该质点上的外力与内力的合力 为 与 ，由质点的动量定理有 将n个方程相加，即得 改变求和与求导次序，则得 11.2 动量定理 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 其中： ；由于内力成对出现，故所有内 力的矢量和恒等于零，即 。于是可得 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。 11.2 动量定理 质点系动量定理的微分形式 11.2.2 质点系的动量定理 质点系动量定理的微分投影形式 或 质点系动量定理的积分形式 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这 段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。 质点系动量定理的积分投影形式 例11-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的 质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力 . 得 解: 由 方向: 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为 方向: 电机不转时, , 称静约束力; 电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束 力. 例4 锤的质量m3000 kg，从高度h1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时 t 0.01 s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件 反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力 N*表示。 锤自由下落时间 锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量 G29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。 例5 滑块C的质量为m19.6 kg ，在力P866 N的作用下沿倾角为30 o的导 杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45 o，滑块与导杆的动摩擦系 数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。 解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。 由动量定理得 由(2)式得 代入(1)式，求得所需时间为 从而摩擦力为 例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。 解：研究系统，建立坐标系。 代入已知数据，解得v3 m/s 设沙箱滑动结束后车速为v，则有 再以小车为研究对象，由动量定理有 代入已知数据，解得 F0.5 kN pp0 恒矢量 若，则 11.2 动量定理 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的 动量保持不变。 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变。 pxp0 x 恒量 11.2.3 质点系动量守恒定律 例7 如图所示，质量为 mA 的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为mB的大 均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系 统静止。求：(1) B的加速度；(2) 地面的支反力。 解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标 ，设B的速度为vB，A相对B的速度为vr，则 于是 系统受力如图。因SFx(e)0，且初始系统静止，有 两边对t求导 再以A为研究对象，受力如图，由 有 即 联立求解(1)、(2)、(3)式得 最后以整体为研究对象，得 将（1）式代入上式则得 即 例8 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的 加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。 解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设 A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由运动学关系得 系统的动量在坐标轴上的投影为 由质点系的动量定理 注意到 可得 11.3 质心运动定理 11.3.1 质量中心 11.3.2 质心运动定理 对于质量不变的质点系，上式可改写为 或 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系 外力的矢量和(外力的主矢)。 形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似， 因此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以 看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量 及其所受的外力。由质心运动定理可知，质点系的内力不影 响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式 自然轴上的投影式 11.3.2 质心运动定理 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零 ，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止 ，则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上 的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该 轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等 于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为质心运动守恒定理。 11.3.3 质心运动守恒定理 例11-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用 以不变的角速度转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活 塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C . 在活塞上作用一恒力F . 不计摩擦及滑块B的质 量,求:作用在曲柄轴A处的 最大水平约束力Fx . 显然,最大水平约束力为 应用质心运动定理,解得 解:如图所示 例9 如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为 m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心O2 到O1 的距离为e，已知转子以匀角速度w 转动。求： (1) 质心运动方程；(2) 基 础对电机总的水平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计 ，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。 解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，qw t，即有 故质心运动方程为 (2) 以系统为研究对象 由质心运动定理 因 故 得 （3）以系统为研究对象，受力如图。 在图示坐标下，设初始时xC1a，当转子转 过q，定子向右移动距离s，则 所以 解得 由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时 由于SFx(e)0 ，所以 若 ，则 。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。 例10 质量为 m 长为 2l 的均质杆OA绕水平固定轴O在 铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为 w ，角加速度为a 。试求此时杆在O轴的约束反力。 解1：用质心运动定理。 以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 解得 解2：用动量定理。 以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 由得 解得 例11 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小 三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为a与b。试求小三角 块由图示位置滑到底时大三角块的位移。 解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。 设大三角块的位移为s ，则 由于SFx(e)0 ，且初始系统静止，所以 解得