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第3章 正弦交流电路 返回返回 3.1 正弦电压与电流 3.3 电阻元件、电感元件与电容元件 3.4 电阻元件的交流电路 3.5 电感元件的交流电路 3.6 电容元件的交流电路 3.7 电阻、电感与电容元件的交流电路 3.8 阻抗的串联与并联 3.9 交流电路的频率特性 3.10 功率因数的提高 目 录 3.2 正弦量的相量表示法 直流电和正弦交流电 前面两章分析的是直流电路,其中的电压和电流的大小 和方向是不随时间变化的。 3.1 正弦电压与电流 直流电压和电流 返回 正弦电压和电流 实际方向和参考方向一致 实际方向和参考方向相反 正半周 实际方向和参考方向一致 负半周 实际方向和参考方向相反 正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。 3.1.1 频率和周期 正弦量变化一次所需要的时间(秒)称为周期(T)。 每秒内变化的次数称为频率( ),单位是赫兹(Hz)。 我国和大多数国家采用50Hz的电力标准, 有些国家(美国、日本等)采用60Hz。 小 常 识 正弦量变化的快慢还可用角频率来表示: 频率是周期的倒数: =1/T 已知 =50Hz,求T 和。 解T=1/ =1/50=0.02s, =2 =23.1450314rad/s 例题3.1 3.1.2 幅值和有效值 瞬时值和幅值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值,用小写字母表示,如 、u、e 等。 瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值,用带下标m的大写字母表示, 如Im、Um、Em等。 有效值 在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正 弦交流电的大小,如交流电压380V或220V,指的都是有效值。 有效值是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流 电流I 流过相同的电阻R,如果在交流电的一个周期内交流电和直 流电产生的热量相等,则交流电流的有效值就等于这个直流电的 电流I。 则 交流直流 根据热效应相等有: 正弦电压和电动势的有效值: 有效值都用大写字母表示! 由可得正弦电流的有效值: 3.1.3 初相位 相位 表示正弦量的变化进程,也称相位角。 初相位 t =0时的相位。 相位:初相位: 0 相位:初相位: 初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。 说 明 相位差 两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 则 和 的相位差为: 当 时, 比 超前 角, 比 滞后 角。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的,但初相不 一定相同,设电路中电压和电流为: 同相反相的概念 同相:相位相同,相位差为零。 反相:相位相反,相位差为180。 总 结 描述正弦量的三个特征量: 幅值、频率、初相位 返回 O 下面图中是三个正弦电流波形。 与 同相, 与 反相。 3.2 正弦量的相量表示法 正弦量的表示方法: 三角函数式: 波形图: 相量法:用复数的方法表示正弦量 返回 一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 相量法 有向线段的长度表示正弦量的幅值; 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。 有向线段可以用复数表示。 复数的加减运算可用直角坐标式,乘除法运算可 用指数式或极坐标式。 直角坐标式: 指数式: 极坐标式式: 有向线段OA可用复数形式表示: 表示正弦量的复数称为相量 注意: 相量用上面打点的大写字母表示。 由复数知识可知:j为90旋转因子。一个相量乘上 +j 则旋转+90;乘上-j 则旋转- 90。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值 复数的辐角表示正弦量的初相位 正弦电压的相量形式为: 有效值相量 幅值相量: 一个正弦量可以用旋转的有向线段表示,而有向线段 可以用复数表示,因此正弦量可以用复数来表示。 把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。 相量图 电压相量比电流相量 超前角 1. 只有正弦周期量才能用相量表示。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 注意 解解 (1)(1)用用复数形式复数形式求解求解 根据根据基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律: 在如图所示的电路中,设: 求总电流 。 例题3.2 (2)用相量图求解 画出相量图,并作出平行四边形,其对角线即是总电流。 返回 3.3 电阻元件、电感元件和电容元件 在直流电路中(稳态),电感元件可视为短路, 电容元件(稳态)可视为开路。 在交流电路中,电感元件和电容元件中的电流均 不为零。 电阻元件:消耗电能,转换为热能(电阻性) 电感元件:产生磁场,存储磁场能(电感性) 电容元件:产生电场,存储电场能(电容性) 返回 3.3.1 电阻元件 对电阻元件,其电压电流满足欧姆定律: 把上面两式相乘并积分,得: 由此可知,电能全部消耗在电阻上,转换为热能。 金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为: 其中:、S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。 3.3.2 电感元件 对于一个电感线圈,习惯上规定感应电动势的参考 方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。 线圈的感应电动势为: 电感的定义 如果磁通是由通过线圈的电流 产生的,则: L为线圈的电感,也称为自感。 此时的感应电动势也称为自感电动势: 线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率有关: 电感的单位为亨利(H). 电感元件的电压电流关系 电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。 设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。 根据基尔霍夫电压定律:基尔霍夫电压定律: 从而: 把上式两边积分可得: 式中 为t=0时电流的初始值。如果 0则: 电感元件的磁场能量 因此电感元件中存储的磁场能量为: 返回 把式 两边乘以 并积分得: 3.3.3 电容元件 电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值: 电容的定义 电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。 平行板电容器的电容为: 式中为介质的介电常数,S为极板面积,d为极板间距离。 单位为法拉(F). 电容元件的电压与电流的关系 对于图中的电路有: 对上式两边积分,可得: 式中u0为t=0时电压的初始值。如果u00则: 电容元件的电场能量 电容元件中存储的电场能量为: 把式 两边乘以u并积分得: 特征 电阻元件电感元件电容元件 参数定义 电压电 流关系 能量 元件 总结 如果一个电感元件两端的电压为零,其 储能是否也一定为零?如果一个电容元件中 的电流为零,其储能是否一定为零? 思考题 返回 单一参数的正弦交流电路单一参数的正弦交流电路 单一元件电阻、电感或电容组成的电路单一元件电阻、电感或电容组成的电路 称为单一参数电路,掌握它的伏安关系称为单一参数电路,掌握它的伏安关系 、功率消耗及能量转换是分析正弦电路、功率消耗及能量转换是分析正弦电路 的基础。因为其他电路无非是一些单一的基础。因为其他电路无非是一些单一 参数元件的组合而已。参数元件的组合而已。 3.4 电阻元件的交流电路 电压电流关系 设图中电流为: 根据欧姆定律: 从而: 电压和电流频率相同,相位相同。 相量形式的欧姆定律 返回 瞬时功率 电压和电流瞬时值的乘积就是瞬时功率: p0,总为正值,所以电阻元件消耗电能,转换为热能。 平均功率 平均功率是一个周期内瞬时功率的平均值: 电压、电流、功率的波形 返回 3.5 电感元件的交流电路 电压电流关系 设一非铁心电感线圈(线性电感元件, L为常数),假定电阻为零。根据基尔霍夫电 压定律: 设电流为参考正弦量: 电压和电流频率相同,电压比电流相位超前90。 返回 从而: 注意! 这样,电压电流的关系可表示为相量形式: L 单位为欧姆。电压U 一定时L越大电流I越小 ,可见它对电流起阻碍作用, 定义为感抗: 感抗XL与电感L、频率 成正比。对于直流电 0, XL0,因此电感对直流电相当于短路。 瞬时功率 P=0表明电感元件不消耗能量。只有电源与电感元件间 的能量互换。用无功功率来衡量这种能量互换的规模。 平均功率(有功功率) 平均功率衡量电路中所消耗的电能,也称有功功率。 无功功率 电感元件的无功功率用来衡量电感与电源间能量互换 的规模,规定电感元件的无功功率为瞬时功率的幅值 (它并不等于单位时间内互换了多少能量)。它的单 位是乏(var)。 无功功率是否与频率有关? 思考题 返回 电压、电流、功率的波形 返回 在第一个和第三个1/4周期内,电流在增大,磁场在建立, p为正值(u 和 正负相同),电感元件从电源取用能量,并转 换为磁场能量;在第二个和第四个1/4周期内,电流在减小, p 为负值(u 和 一正一负),磁场在消失,电感元件释放原先 储存的能量并转换为电能归还给电源。这是一个可逆的能量转 换过程。在一个周期内,电感元件吸收和释放的能量相等。 3.6 电容元件的交流电路 电压电流关系 对于电容电路: 如果电容两端加正弦电压: 则: 电压和电流频率相同,电压比电流相位滞后90。 返回 从而: 这样,电压电流的关系可表示为相量形式: (1/C)单位为欧姆。电压U一定时(1/C)越大电流 I越小,可见它对电流起阻碍作用, 定义为容抗: 容抗XC与电容C,频率 成反比。对直流电 0, XC,因此电容对直流相当于开路,电容具有隔直通 交的作用。 瞬时功率 平均功率(有功功率) 电容的平均功率(有功功率): P=0表明电容元件不消耗能量。只有电源与电容元件 间的能量互换。 无功功率 为了同电感的无功功率相比较,设电流 为参考正弦量,则: 这样,得出的瞬时功率为: 由此,电容元件的无功功率为: 电容性无功功率为负值,电感性无功功率取正值。 电压、电流、功率的波形 返回 在第一个和第三个1/4周期内,电压在增大,电容在充电, p为正值(u 和 正负相同),电容元件从电源取用能量,并转 换为电场能量;在第二个和第四个1/4周期内,电压在减小,p 为负值(u 和 一正一负),电容在放电,电容元件释放原先储 存的能量并转换为电能归还给电源。这是一个可逆的能量转换 过程。在一个周期内,电容元件吸收和释放的能量相等。 3.7电阻、电感与电容元件串联的交流电路 电压电流关系 根据基尔霍夫电压定律: 设串联电路电流为参考正弦量,则: 同频率的的正弦量相加,得出的仍为同频率的正弦量,所以可得出下面 形式的电源电压: 返回 相量关系 基尔霍夫电压定律的相量形式为: 由此: 其中 实部为“ 阻”,虚部为“ 抗”,称为阻抗。 注意:阻抗注意:阻抗 Z Z 不是一个相量,而是一个复数计算量。不是一个相量,而是一个复数计算量。 阻抗模: 单位为欧姆。反映了电压与电流之间的大小关系。 阻抗角(电压与电流的相位差): 其大小由电路参数决定,反映了电压与电流之间的相位关系。 注意注意 应该指出,在交流电路中引用相量法之后,由于 相量形式的欧姆定律、基尔霍夫定律都与直流电 路的形式相似,所以在直流电路中由这两个定律 推演出来的分析电路的各种方法和电路变换的基 本公式都可以适用于交流电路。直流电路中的定 理和公式只要将电阻改换为阻抗;将直流电压、 电流改换为电压相量、电流相量,便成为交流电 路的定律和公式。 相量形式的欧姆定律: 由此可得: 相量形式的欧姆定律: 相量图 电压三角形 相量图中由 、 、 构成的三角形称为电压三角形。 瞬时功率 平均功率(有功功率)
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