第二章 初等模型 2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化 2.1 公平的席位分配 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问 题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 比 例 加 惯 例 对 丙 系 公 平 吗 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 “公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ，定义 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算rB(n1+1, n2) 计算rA(n1, n2+1) 若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B 当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 刹 车 距 离 反应时间 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比 ，使汽车作匀减速运动。 车速 常数 反 应 距 离 制 动 距 离 司机 状况 制动系统 灵活性 常数 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 模 型 最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间 车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际刹车距离 （英尺） 计算刹车距离 （英尺） 刹车时间 （秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 车速 (英里/小时) 刹车时间 （秒） 201.5 301.8 402.1 502.5 603.0 703.6 804.3 车速（英里/小时）010104040606080 t（秒）1234 2.5 划艇比赛的成绩 赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重 w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 问 题 准 备 调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 划浆 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手 数量 艇 重 浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征 模型 建立 f sv2 p wv (n/s)1/3 s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n 1/9 np fv 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验 t n 1248 7.21 6.88 6.32 5.84 与模型巧合！ 问 题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo 2.6 实物交换 x y yo y1 y2 0 x1x2xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度，即p1, p2 对甲是无差别的， M N 将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3). 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上 。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 p1. p2 . c1 y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小 ) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多， 宁愿以较多的 y换取 较少的 x; 在p2点占有y少、x多， 就要以较多的 x换取 较少的 y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1c1满意度 （f 等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同 性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O x y g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 系xOy, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P 双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 交换后甲的占有量 (x,y) 0xx0, 0yy0矩 形内任一点 交换路 径AB 双方的无差别曲线族 等价交 换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换 前x0,y0价值相同，则等价交换原 则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD AB与CD的 交点p 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑 战略”，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的 核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在 暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹 等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数 量受哪些因素影响。 背 景 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹 ，给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。 模 型 假 设 图 的 模 型 y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数 当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值 x y y0 0 y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲 方工业、交通中心等目标所需导弹数 x1x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y 0 y0 y=f(x)y=f(x) 乙安全区 甲 安 全 区 双方 安全区 P平衡点(双方最少导弹数) 乙安全线 精细 模型 乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。 xy 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, y0=sx+yx x=y y0=sy 乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁； y (xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x )个未摧毁 y0=