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1 固体物理学 Introduction to Solid State Physics 周恒为 伊犁师范学院物理学院学院伊犁师范学院物理学院学院 2013年03月22日 8 晶格振动状态方程和热膨胀 晶格振动状态方程 本节主要内容: 声子 8 晶格状态方程和热膨胀 一、自由能和格律乃森状态方程 1.内能函数 自由能F(T,V)是最基本的物 理量,求出F(T,V),其他热力 学量或性质就可以由热力学关 系导出。 8 晶格状态方程和热膨胀 由热力学知,压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的关系为 : 由晶格振动决定 T=0时晶格的结合能 由统计物理知道: Z是晶格振动的配分函数。 频率为i的格波,配分函数为: 若能求出晶格振动的配分函数,即可求得热振动自由能。 8 晶格状态方程和热膨胀 第i个声子的能量为 使用求和公式: 忽略晶格之间的相互作用能,总配分函数为: 8 晶格状态方程和热膨胀 8 晶格状态方程和热膨胀 由于非线性振动,格波频率i也是宏观量V的函数,所以 3.格律乃森方程 式中 表示频率为i的格波在温度T时的平均能量,而 是与晶格的非线性振动有关与i无关的常数,称为格林艾森数 。 8 晶格状态方程和热膨胀 该式包含了各振动频率对 V的依赖关系,比较复杂 ,Gruneishen提出一个近 似,上式得到简化。并进 一步假定参数 对所有 振动相同。 由于一般情况下, 所以 与晶体振动有关,是 温度和体积的函数 与温度无关,起因于原子 间的相互作用,决定于内 聚力与体积的关系。 8 晶格状态方程和热膨胀 为晶格振动总能量。 晶体的状态方程(格林艾森方程) 若只取一次方项,则 8 晶格状态方程和热膨胀 二、热膨胀及其格律乃森关系 对于大多数固体,体积的变化不大,因此可将 在晶体的平衡体 积V0附近展开: 其中K是体 积弹性模量。 8 晶格状态方程和热膨胀 二、热膨胀及其格律乃森关系 热膨胀:在不施加压力的情况下,晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀 。 1.物理图象 R0 R0 假设有两个原子,一个在原点固定不动,另一个在平衡位置R0附近作振 动,离开平衡位置的位移用表示,势能在平衡位置附近展开: 0 (1)简谐近似 R U(r) R0 两原子间距不变,无热膨胀现象 (2)非简谐效应 8 晶格状态方程和热膨胀 两原子间距增大,有热膨胀现象。 对于大多数固体,体积的变化不大,因此可将 在晶体的平衡体 积V0附近展开: 若只取一次方项,则 2.由状态方程讨论晶体的热膨胀 8 晶格状态方程和热膨胀 其中K是体积弹 性模量。 上式两边对温度T求导得: 上式等号右边第二项是非常小的量可略去,所以 8 晶格状态方程和热膨胀 格律乃森定律 。 用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀现象。 8 晶格状态方程和热膨胀 1)热膨胀系数与格林艾森数成正比。对于简谐近似, =0,无热膨胀现象 。热膨胀是非简谐效应,可作为检验非简谐效应大小的尺度,同样也可用 作检验非简谐效应的尺度。实验测定,对大多数晶体,值一般在13范围 内。 2)热膨胀与热振动成正比,所以热膨胀系数与晶体热容量成正比。 3)由于K -1是体压缩系数,上式表明,晶体受热时如果容易膨胀,受压时 则容易压缩,这显然是由原子间结合键的强弱决定的。 4) 低温下,CV按T3下降,因此低温下,热膨胀系数会急剧随温度下降,这 一点已为实验所证实。 8 晶格状态方程和热膨胀 三、热膨胀与非谐效应 1.格临爱森常数与非谐项密切有关 以单原子链为例说明这一点: 式中 与体积无关的,故只有力常数是与体 积有关的量。 由格临爱森常数的定义,可得 : 是势能函数展开式中的三次项系数,所以格临爱森常数是和 非谐项有关的。 8 晶格状态方程和热膨胀 由玻尔兹曼统计,原子离开平衡位置的平均位移 2.理论计算 8 晶格状态方程和热膨胀 在势能展开式中,令r0 = a,且 (c、g均为正常数。) (1)简谐近似: 是的奇函数 在简谐近似下无热膨胀现象。 8 晶格状态方程和热膨胀 (2)非简谐效应: 在非简谐效应下,有热膨胀现象。 8 晶格状态方程和热膨胀 8 晶格状态方程和热膨胀 线膨胀系数 当势能只保留到3次方项时,线膨胀系数与温度无关。 若保留更高次项,则线膨胀系数与温度有关。 显然,在简谐近似下,g=0,=0。 8 晶格状态方程和热膨胀 可见,如果不计非谐项,即g = 0,那么热膨胀系数也为零, 故热膨胀是由非谐项引起的。 如果非谐项只考虑三次项,此时得到的热膨胀系数与温度T无 关。 如果再计入u (r0+)展开式中的更高次项,可发现热膨胀系 数与温度有关。 8 晶格状态方程和热膨胀 但统计物理方法只适用于温度较高时的情况,因此得不出甚低 温时,热膨胀系数象比热CV一样按T3下降的结果。 设u(r)为两原子间的平均势能函数,在一维的情况,由于V=L = Na,U = Nu和Cv=NkB,可以较容易地证明由热力学和统计 物理两种方法得到的热膨胀系数是等价的。 24
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