1 1 第三章 无穷级数 2 说明 u吴崇试，数学物理方法第四章 3 讲授要点 复数级数 复数级数，收敛与发散 绝对收敛级数 函数级数 函数级数的收敛性 函数级数的一致收敛性 含参量反常积分的解析性 幂级数 阿贝耳定理 收敛圆与收敛半径 4 无穷级数 u无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的最重要的表 达形式之一 u许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的 u复变函数级数理论和实变函数的比较；概念和方法的 异同 5 无穷级数的收敛与发散 如果级数的部分和 所构成的序列Sn收敛，则称级数 收敛，序列Sn的 极限 ，称为级数 的和 否则，级数 是发散的 复数级数 6 令un=n+in，则部分和序列 复数级数 的收敛性完全等价于实数级数 和 的收敛性 一个复数级数 完全等价于两个实数级数 和 7 n绝对收敛： 若 组成的级数收敛， 则称该级数绝对收敛。 绝对收敛 收敛 ？ 8 任给 ，必有存在正整数n,正整数p，有 发散 发散 收敛 收敛 u收敛判别法 则 1.基本法则Cauchy判据 2.特殊法则比较判别法 由基本法则可知，若对充分大的n有 9 P具体比较判别法 r1时级数发散；r=1时不一定。 n根式判别法（Cauchy判别法） n比值判别法（dAlembert判别法） n与标准级数比较，如几何级数 10 u级数的代数运算 加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且 若 ， 11 乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的 排列次序无关 k lb0b1b2 a0a0b0a0b1a0b2 a1a1b0a1b1a1b2 a2a2b0a2b1a2b2 n 0 1 2 12 除法是乘法的逆运算 k lb0b1b2 a0a0b0a0b1a0b2 a1a1b0a1b1a1b2 a2a2b0a2b1a2b2 n -1 0 1 13 u复变函数项级数 收敛性： 若复变函数项级数 在某个区域D内所有点处收敛， 则称该级数在D内收敛。 14 15 u特殊判别法： 正实常数项收敛级数 有 则 在 D 上一致收敛。 16 u一致收敛级数性质： 连续性： 在有限（开）区域D内 连续，在D内任意闭区域上 一致收敛，则和函数 在D内连续 。 17 u一致收敛级数性质： 积分性质： c为分段光滑曲线，在c上 连续，且在c上级数一 致收敛，则和 在c上连续，且可沿c逐项积分，即 18 u一致收敛级数性质： 微商性质： 在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次， 即 19 u幂级数 定义： 主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数； 称为以a为中心的幂级数。 20 u收敛特性：以a为中心的幂级数 在某个圆 内收敛且绝对收敛 在 上绝对一致收敛 在圆外 发散 收敛圆 收敛半径 收敛 发散 21 uAbel定理： 幂级数 在某点 收敛 它在 上收敛且绝对收敛 它在 上绝对一致收敛 22 证：（利用比较判别法） 级数 在 内收敛。 收敛 23 24 u推论：若幂级数在某点 处发散，则它在 处发散。 25 u收敛半径的求法（比值或根式判别法） u幂级数运算性质： 幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分 、逐项微商。 26 例1：求出 的收敛半径 。 解 27 例2：求出 的收敛半径。