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复 习 1.方向导数的概念与计算 1 2. 梯度(注意梯度是一个向量) 的梯度为: 的梯度为: 3. 重要关系图: 连连 续续 可微分可微分偏导数存在偏导数存在 一阶偏导数连续一阶偏导数连续 有定义有定义 2 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 3 回顾: 一元函数极值点的可疑点: (在定义域内部的)驻点,不可导点. 即:一元函数的极值点驻点,不可导点 Th1(Th1(必要条件必要条件) )可导函数的极值点必是它的驻点可导函数的极值点必是它的驻点. . Th2(Th2(第一充分条件第一充分条件) ) 考察函数的导数在极值考察函数的导数在极值可疑点可疑点左右两侧的符号:左右两侧的符号: 从左到右,导数由正变负,该驻点是极大值点;从左到右,导数由正变负,该驻点是极大值点; 从左到右,导数由负变正,该驻点是极小值点;从左到右,导数由负变正,该驻点是极小值点; 从左到右,导数不变号,函数在该点没有极值从左到右,导数不变号,函数在该点没有极值. . Th3(Th3(第二充分条件第二充分条件) ) 4 一、多元函数的极值 5 一、多元函数的极值 6 一、多元函数的极值 7 一、多元函数的极值 8 一、多元函数的极值 9 一、多元函数的极值 10 一、多元函数的极值 11 一、多元函数的极值 12 1.定义: (1)由定义知:极值点应在定义区域内部(内点),而不能在 边界上. (3)在点 (0,0) 有极小值 ; 在点 (0,0) 有极大值; (2)该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上. 说明: 在点 (0,0) 有极大值; 13 o y z x x y z o 在点 (0,0) 无极值. 14 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研)P118T1 15 定理1 (必要条件) 函数 偏导数,且在该点取得极值 2.多元函数取得极值的条件: 证: (多元函数的(多元函数的FermatFermat引理)引理) 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点 ,均称为函数的驻点,均称为函数的驻点. . 16 设可微函数 在点 取得极小值, 则下列结论正确的是( ) 在 处的导数大于零 在 处的导数小于零 在 处的导数等于零 在 处的导数不存在 2003 C 例2. 17 定理1简述为:驻点极值点(可导函数) 注1 几何意义: 注2 逆命题不成立,即驻点不一定是极值点. 故驻点极值点 但在该点不取极值. 因函数在该点的偏导不存在. 1)驻点 2)偏导中至少有一个不存在的点. 18 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 若函数 令 时, 具有极值则: 1) 当 A0 时取极小值 .2) 当时, 没有极值. 3) 当时, 不能确定 , 需另行讨论. 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 1.驻点 2.偏导中至少有一个不存在的点. 19 例3. 求函数 解: 解方程组 得驻点(1,1),(0,0) 故所求函数的极值为: 对驻点(1,1): 所以 对驻点(0,0): 所以函数在(0,0)处无极值. 20 说明:求函数的极值的一般步骤: 第三步: 定出的符号,再判断是否为极值. 求出在定义区域内部的实数解,得驻点. 第一步: 解方程组 第二步:求出二阶偏导数 的值A、B、C. 对于每一个驻点 (09数一,三9分) 21 二、多元函数的最值 1.最值的存在性: 如函数 2.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤: (1)找最值可疑点 D内的驻点及不可导点 边界上的可能极值点 (2)比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为 所求的最大(小)值 . 需求函数 (假定函数在D有有限个可疑点) 定理:若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m . 22 3.条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域内限制. 对自变量除定义域内限制外, 还有其它限制条件. 例如 , 转化 23 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 的极值问题, 故极值点必满足 设 例如, 极值点必满足 引入辅助函数 24 拉格朗日乘数法: 就是可能的极值点的坐标. 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 以上解正是 的驻点. 25 解 : 如图, 例4. 求二元函数 26 设 解方程组 得条件极值的可疑点为: 另解 求 提示: 3.比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所 求的最大(小)值 . 练习:求函数在闭域 2007研 答案: 27 推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形. 例如, 求函数 下的极值. 解方程组 可得到条件极值的可疑点 28 4. 函数的最值应用问题 求多元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但 如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又 知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值 就是所求的最值. 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 函数的最值应用问题的解题步骤: 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件) 29 例5.求曲面与平面 解:设为抛物面上任一点, 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 到平面 之间的最短距离. 令 得唯一驻点: 根据问题的实际意义,知 30 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法; 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法. 31 3. 有界闭区域上连续函数的最值的求法 (1)找最值可疑点 D内的驻点及不可导点. 边界上的可能极值点. (2)比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所求 的最大(小)值 . 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小. 根据问题的实际意义确定最值. 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件); 4. 函数最值的应用问题 作业作业: :P118P118 3,5,8,11 .预习预习: :P132-P137P132-P137 32
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