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2018届全国四省名校高三第三次大联考理科数学试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )A B C D 2某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形,若该几何体的体积为144,则( )A14 B13 C12 D113设集合,则( )A B C D4莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得面包成等差数列,且较大的三份之和的等于较小的两份之和,问最小的一份为( )A B C D5对任意实数,有,若,则( )A2 B C D6双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分,则双曲线的离心率为( )A B C2 D37阅读如图所示的程序,若运行结果为35,则程序中的取值范围是( )A B C D8设,则( )A B C D9设函数,为的导函数,若函数的图象关于原点对称,则( )A B C D10近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷,无力偿还校园贷,跳楼自杀也偶有发生,一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况,对城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生,按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查,其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计,通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是( )参考数据与参考公式:.A月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数 B所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人 C样本数据的中位数约为1750元 D在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关11如图,已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线相交于不同两点,且,连接并延长准线于点,记与的面积为,则( )A B C D12设函数为自然常数),有下列命题:有极小值;,使得不等式(为的导函数)成立;若关于的方程无解,则的取值范围为;记,若在上有三个不同的极值点,则的取值范围为.其中真命题的个数是( )A1个 B2个 C3个 D4个第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13若变量满足约束条件,则的最小值为 14设为等比数列,为其前项和,若,则 15已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)各顶点都在同一球面上,且,若此球的表面积等于,则 16如图,在中,已知,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17已知函数.(1)当时,求的值域;(2)在中,若,求的面积.18在如图所示的几何体中,平面,四边形为等腰梯形,.(1)证明:;(2)当二面角的余弦值为时,求线段的长.192018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竞猜.(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队,且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率;(2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为,男球迷选择德国队的概率为,记为三人中选择德国队的人数,求的分布列和数学期望.20.如图,在平面直角坐标系中,已知点,过直线:左侧的动点作于点,的角平分线交轴于点,且,记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点作直线交曲线于两点,点在上,且轴,试问:直线是否恒过定点?请说明理由.21设函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,试比较与的大小,并说明理由.22在极坐标系中,曲线的极坐标方程化为,点的极坐标为,以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标;(2)过点的直线与曲线相交于两点,若,求的值.23.已知函数,.(1)当时,解不等式;(2)若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BCBAB 6-10:CACDD 11、12:CC二、填空题13 143 152 16三、解答题17解:(1),当,即时,取得最大值3;当,即时,取得最小值,故的值域为.(2)设中角所对的边分别为,即,得.又,即,即,由正弦定理得,解得,.18.解:(1)由题知平面,平面,过点作于点,在中,得,在中,且,平面又平面.(2)以为坐标原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,设为平面的一个法向量,则,令得,同理可求得平面的一个法向量,化简得解得或二面角为锐二面角,经验证舍去,.作于点,则为中点,.19.解:(1)设恰好有两支球队被人选择为事件,由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有种不同选择,每种选择可能性相等,故恰好有两支球队被人选择有种不同选择,所以.由题知,且,, 的分布列为.20、(1)设,由题可知,所以,即,化简整理得,即曲线的方程为.(2)由已知可得直线的斜率不为0,可设直线的方程为,联立方程组消去得,恒成立,记,则,则,直线的斜率为,直线的方程为,即,又,直线的方程为,直线过定点.21.解:(1)当时,设则,当时,单调递减,当时,单调递增,在区间上单调递增,无单调递减区间.(2),由(1)可知在区间上单调递增,则,即在区间上单调递增,且当时,在区间上单调递增,满足条件;当时,设,则,在区间上单调递增,且,使得当时,单调递减,即时,不满足题意.综合上述,实数的取值范围为.(3)由(2)可知,取,当时,即,当时,又,当时,;当时,;当时,.22、(1),即,由,有,曲线的直角坐标方程为,点的直角坐标为.(2)设直线的倾斜角为,则直线的参数方程是(为参数),将其代入,可得,记为方程的两根,由,得,或,当时,或,当时,同理,.23.解:(1)当时,或或解得即不等式解集为.(2),当且仅当时,取等号,的值域为又在区间上单调递增,即的值域为,要满足条件,必有,解得的取值范围为.12
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