目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数 . 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求 n 次近似多项式要求: 故 令 则 目录 上页 下页 返回 结束 2. 余项估计 令(称为余项) , 则有 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 ,时, 有 其中 则当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 * 可以证明: 式成立 目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式 类似可得 其中 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 令 x = 1 , 得 由于欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差限为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限 例3. 求 解:由于 用洛必达法则 不方便 ! 用泰勒公式将分子展到项, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: + 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当时为麦克劳林公式 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 例如 泰勒多项式逼近 642246 4 2 2 4 O 泰勒多项式逼近 642246O 4 2 2 4 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 计算 解: 原式 第四节 作业 P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; *10 (1), (2) 泰勒 (1685 1731) 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 麦克劳林 (1698 1746) 英国数学家, 著作有: 流数论(1742) 有机几何学(1720) 代数论(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . 目录 上页 下页 返回 结束 证: 由题设对 备用题 1. 有 且 目录 上页 下页 返回 结束 下式减上式 , 得 令 目录 上页 下页 返回 结束 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 2. 证明 e 为无理数 . 证: 时,当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数.