第六节 差分方程 一、差分的概念与性质 二 差分方程的概念 三 一阶常系数线性差分方程 一、差分的概念与性质 一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 关于时间 的变化率是用 来刻画的； 对离散型的变量 我们常用在 规定时间区间上的差商 来刻画变量 的变化率.如果取 ，则 可以近似表示变量 的变化率.由此我们给出差分的定义. 定义1 设函数 ，称改变量为函数 的差分，也称为函数的一阶阶差分，记为 ，即 或 一阶差分的差分称为二阶阶差分，即 类似地可定义三节差分，四阶差分，等等. 一般地，函数 的阶差分的差分称为 阶阶差分，记为，即 二阶及二阶以上的差分统称为高阶阶差分. 例1 设，求 ， 解 例2 设求 解 设，则 . 差分满足以下性质： （2） （3） （4） （1） 例3 求 解 由差分的运算性质，有 . 的差分. 二 差分方程的概念 定义义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程. 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶阶 差分方程的一般形式： 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 例如，对于差分方程，将代入方程有 故是该方程的解，易见对任意的常数 都是差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解. 定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为 其特点是 都是一阶的. 三 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数差分方程的一般方程形式为 其中为非零常数，为已知函数.如果 则方程变为 称为一阶阶常系数线线性齐齐次差分方程，相应地，时方程 一阶常系数线性非齐次差分方程. 1一阶常系数线性齐次差分方程的通解 已知，将代入方程 中，得 则为方程的解.容易验证，对任意常数 都是方程的解，故方程的通解为 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得. 设 例4 求差分方程的通解. 解 利用公式得，题设方程的通解为 2一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 为齐次方程的通解，为非齐次方程的一个 为非齐次方程的通解. ，及 将这两式相加得，即 为非齐次方程的通解. 定理 设 特解，则 证明 由题设，有 （1）为非零常数 ，由，可按如下迭代法求得特解给定 齐次方程的通解为 于是方程通解为 时， 当 其中， 为任意常数，且当 时， 为任意常数 例5 求差分方程的通解. ，故原方程的通解为 解 由于 （2） （为非零常数且 ）. 时，设为非齐次方程的特解，其中 为待定系数.将其代入方程,得 解得 ，于是，所求特解为 所以 时，方程的通解为 当 当时，设为方程的特解，代入方程得 所以，当 时，方程的通解为 例7 求差分方程在初始条件 时的特解. 利用公式，所求通解为 将初始条件代入上式，得 故所求题设方程的特解为 解 这里