旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴 圆柱圆锥 圆台 体 积 一、旋转体的体积 旋转体的体积为 x y o 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积 为 例1 求椭圆 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋 转体（旋转椭球体）的体积 类似地，由连续曲线 这个旋转体可以看成是由半个椭圆 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体 与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体 解 特别当 a = b 时旋转体成为球体 解 解 例4证明由平面图形 （f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为 对应的部分量 可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒 故 证 或展开后近似于长为 宽为 dx 高为 f(x) 的薄长方体 利用这个公式，可知上例中 解 体积元素为 求圆心在 ( b ,0 ) 半径为 a ( 0 a b ) 的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积 解圆的方程 例6 绕 x 轴旋转 dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x) ，高为dx ） 柱片法 绕 y 轴旋转 dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为x+dx 高为f ( x ) 柱壳法 旋转体的侧面积 绕 x 轴旋转 所得的旋转面的侧面积为 一 般地 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 已知点A（1,0,1), B(0,1,0) ，线段AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S和 两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积 解 AB 的方程为 在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得 截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点Q (0,0,z) ， 与AB交于点M (z,1-z,z) ， 截面面积 立体体积 故截面的半径为 例8 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 平行截面面积为已知的立体的体积 思考题 三、小结 交点 立体体积 思考题解答 练 习 题 练习题答案