论文题目 ：半无限长弦振动的求解 学 院 2009级电气信息工程学院 专 业 物 理 学 届 别 2009 学生姓名 杨 昌 敏 学 号 20090840526 指导教师 刘 涵 哲 论文的大体内容 前言 达朗贝尔公式 用MATLAB求解时所用到的函数 无限长的弦的自由振动 半无限长弦振动 达朗贝尔公式 达朗贝尔公式： 达朗贝尔公式的适用范围：波动方程为： 没有边界条件，有初始条件；初始位移为： u|t=0=(x), 初始速度为ut|t=0=(x) 。 用MATLAB时所用的的函数 1.plot函数 调用格式： plot(y),plot(x,y),plot(x1,y1,x2,y2) 2.axis:坐标控制 3.set: 使用set命令可以改变刻度值 4.Linspace:利用linspace函数创建向量. 一维的弦振动方程的解析解及 MATLAB求解 无限长的弦的自由振动 例题1：定解问题 utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）= sinTlx =(x) ut (x,t=0)=0 由达朗贝尔公式求得： u（x,t=0）= sinTlxcosTl(at) ，用软件MATLAB进行求解得 的图像按时间先后得到图形如下所示： 结论：由常规求解得到的波形为sinTlxcosTl（at) ，在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x轴的负方向传播 及在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x轴的正方向传播 ；在MATLAB上进行求解所得图像与之符合，两例波所通 过的地区振动消失而弦静止在原平衡位置. 例题2：定解问题： utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）=(x)=0 ut (x,t=0)=(x)=1 由达朗贝尔公式求得： 表示的波形向左和向右以a的速度移动.波也通过的地区, 振动消失但偏离了原平衡位置，用软件MATLAB进行求解 的图像.按时间先后得到图形如下所示： 结论：用MATLAB求解得到的结果与常规求解所得结果一致 ，波也通过的地区,振动消失但偏离了原平衡位置. 用端点反射来解决半无限长弦振动问题 例题1:半无限长弦振动的初始位移和初始速度都为零，端 点做很小的振动；u|x=0=Asin(wt)，求该弦的振动。 解：设u(x,t)表示t时刻x处的位移 定解问题 : utt-a*auxx=0 (0xat,则端点的影响未传到 由达朗贝尔公式 得u(x,t)=0 ii当xat，考虑到端点的影响，对问题进行延拓，设t=0时 刻,(x) =0 (x0) ; (x)= (x) (x0) (x) = 0 (x0); (x)=(x) (x0) 代入达朗贝尔公式并且满足边界条件，假设(x)=0时，则 (x)=2 Asin（-wx/a）.得到的解为u（x,t）= Asinw（t -x/a）， 结论：在没有端点x=0影响下得到的波形是为零,然而随着时间 的改变,被端点反射的波影响的部分的波形为u（x,t）= Asinw （t-x/a）. 例题2.求解无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻R 而相接。初始电压分布Acoskx,初始电流分布Acoskx,在什么 条件下端点没有反射（这种情况叫做匹配） 解：设v(x,t)为t时刻x,处的电压 j(x,t)为t时刻x,处的电流 定解问题：电压 vtt-a*avxx=0 x0 v(x,t=0)=Acoskx= (x) Vt (x,t=0)= =(x) 电流 jtt-a*ajxx=0 j(x,t=0)= Acoskx=(x) jt(x,t=0)= =(x) (1).xat,认为端点的影响不能传到， 由达朗贝尔公式求解得： v（x,t）=Acosk(x-at) j（x,t）= Acosk(x-at) (2). xat,考虑到端点的影响，令 v（x,t）=Acosk(x-at)+V1 (x+at) ， j（x,t）= Acosk(x-at) +j1 (x+at) 由jt=-vx/L， Vt=-jx/C的关系得 j1 (x+at)=- V1 (x+at) 再加上边界条件v(x=0,t)=Rj(x=0,t),解得 由表达式可知(x+at)项为反射波，要使反射波不存在 ，则 =0即 = 则R0称为传输线的特性阻抗。 结论 ：在没有端点x=0反射波的影响的时候的电压 和电流的波形分别是v（x,t）= Acosk(x-at)和j（ x,t）= Acosk(x-at)，受到端点的反射波影响 的部分的电压和电流的波形分 别是v（x,t）= A cosk(x-at) + Acoskat 和 j（x,t）= Acosk(x-at) + Acoskat.