多视角审视 全方位探究 年辽宁卷高考（理）第 题解法赏析 山东枣庄市第三中学 黄丽生 朱信富 题目 对于 ，当非零实数 ， 满足 ，且使 最大时， 的最小值为 本题虽是一道填空题，却别有洞天，考查了函数 与方程、不等式的综合应用等知识试题设计新颖，区 分度高，学生普遍感到难以下手因为从条件来看，它 包含两部分，一个多元方程及一个绝对值问题，考生 很难发现到底考的是哪一块知识本题实质上是根据 最大时所满足的条件，把一个三元函数一元 化，这是处理多元函数的常规方法，关键是怎么找到 满足的条件可见，试题“暗藏” 着一定的潜在价值，需 要我们去探索发现，做一番研究 视角一 不等式法 思路 （运用向量） 由 ，可得 () () ，令 （， ）， （， ）， 由 ， 得 () () ，即 () ， 所以 ，当且仅当 ， 共线，即 时，等号成立，将 带入条件： ，得 ，于是 可转化为 的函 数，即 ，所以当 时， 的最小值为 ，此时 ， 点评 对条件方程的变形有很多种，比如，将条 件转化成 () () ，下一步该怎 么走，应该有一个目标才行，要寻找 最大值， 需要建立 与 () 的不等关系，此时可 以考虑使用向量中的不等式来建立，等号成立的条 件，恰好是，共线，即 时，下面的问题就简单 了可见，抓住问题的关键，才能产生一个优美、漂亮的 解法 思路 （运用柯西不等式） 由 ，可得 ，由柯西不等式，得 () ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，下同解法 点评 柯西不等式是人教 版选修 中的内 容，运用二维柯西不等式，通常可以迅速证明不等式 或建立一些不等关系比如本题配方后，下一步怎么 办？ ，这种平方和的形式， 结构上是否可以使用柯西不等式，实现“等” 与“不 等” 的转化？ 以上两种解法，异曲同工，令人赏心悦 目，这种“高屋建瓴” 的解题途径体现了较高的思维 品质 思路 （运用基本不等式） 由 ，可得 由基本不等式，得 ， ， ，得 ，当且仅当 、 中的等号同 中学数学杂志 年第 期 时成立时等号成立，即 ，化简得 时 ，下同解法 点评 从本题解法可以看出，对条件的转化，等 同于思路 ，接下来利用有效增设，使用基本不等式， 建立两个不等式，然后通过叠加、利用绝对值性质放 缩，求出 的最大值，同时也找到了 达到最大时所满足的条件解法仍然属于通法，但对 不等式的应用提出了更高的要求，有利于培养学生严 谨的思维，拓展其视野 思路 （运用基本不等式） 由 ，可得 () ()， () () () ， 所 以 () ，当且仅当 ，即 时等号 成立，下同解法 点评 从解法看到，对条件“ ” 的不同配方形式，导致解法的多样化新解法的 出现，根源在于对题目结构认识的提高，实际上是对 思路 解法的改进，由两次使用基本不等式减少为一 次使用基本不等式，大大缩短了解题的长度 视角二 减元法 思路 （对方程配方减元） 由 ，可得 () () ， 所以 () () ， 所 以 ，当且仅当 时，等号成立；下同解法 点评 从解法看出，三元最值问题的常规手段， 就是“三元归一”，同样是对方程配方，但变形的方法 仍然有别于前面三种解法，不仅快速求出 的 最大值，而且也找到了其达到最值时所满足的条件 正是因为条件的不同变形形式，才导致了解法的多样 性，灵活性可见，该试题立意之深，背景之妙，让人感 觉不漏痕迹，唯有很强的思维洞察力，方可识破玄机 用简单的方法说明深刻的道理，才是数学之精髓 思路 （利用判别式减元） 令 ，所以 ，带入条件 ，得 ，所以 ， 所以 ， 即 ，又 ，所以 下同解法 点评 这是最初的基本解法，考生也最容易想 到，但与前面的四种方法相比较，它只能先得到 的最大值，然后再结合条件等式，才能发现其达到 最值时所满足的条件，进而实现减元从解法可以看 到，其中少一些技巧，多一点自然，水到渠成的解题过 程，常常源自思维方法上的质朴 思路 （利用齐次式减元） 令 ， 则 ，令 ， 所 以 当且仅当 ，即 时等号成立，此 时 ，下同解法 点评 此解法精妙之处在于将已知两个条件完 美地融合在一起，考虑将 平方后，它与条件 方程中的“ ” 都是齐次式，然后再利用 换元法，将其转化为运用均值不等式求最值问题，这 是基于代数式中各个部分和整体间的关系，重新显现 代数式的结构之美，构思精巧，不仅收获了 的最大值，而且顺利找到了其达到最大值时所满足的 条件，使得解法流畅、自然，能有效地考查学生观察、 联想、转化问题的能力 思路 （直接减元） 直接令 ，把 带入条件 ，整理得 ， 所 以 () () ，下同解 法 点评 对于多元函数的最值求解问题，解题的关 键在于能否成功减元，本题应该预测到当 达 到最大值时， 之间某两个变元应该有一个关系， 这样再结合条件方程，就可以顺利实现减元，故直接 令 教师在引导学生解答问题时要注重一般思 路，即通性通法中学生应掌握的通性通法是：具有某 中学数学杂志 年第 期 些规律性和普遍意义的常规的解题模式和常用的数 学思想方法，在解决问题时，应突出通性通法在问题 解答中的主体性 视角三 换元法 思路 （变量代换） 由 ，可得 ，令 ，所以 原等式转化为 () ， 设 ，显然当直线 与圆 () 相切时， 最大，即 ，所以 ，即 ，两边平方，结合 ，可得 ，下同解法 点评 本解法对方程的配方有别于前面，但考虑 运用变量代换法，将代数问题转变为几何问题了，带 有绝对值的二元函数，瞬间变成了一个学生很熟悉的 线性目标函数的最值问题在解题上，这就是我们常 说的模式识别，用几何问题处理代数问题，这是高中 数学重要的方法之一，在教学中忽视这样的通性通 法，显然是不够恰当的真可谓一法一个境界，每种解 法都彰显理性的力量 思路 （三角代换） 由 ，可得 ，考虑三角代换，令 ， ， 从而 ()，