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2.1.2递推公式 学习习目标标 1.了解数列的递递推公式的概念 2理解数列递递推公式的应应用 温故夯基 1数列的定义义:数列是按照_排列起 来的一列数; 2数列的通项项公式:_ 一定顺顺序 anf(n) 递推公式也是数列的一种表示方法。 数列的表示方法 (1)解析法(通项公式) (2)递推公式法(相邻两项或三项之间的关系式) (3)前n项和法(Sna1a2a3an) 通项公式与递推公式的区别与联系 区别联系 通项公式 项an是序号n的函数 anf(n) 都可以确定数 递推公式 已知a1及相邻项间 的关系式 已知数列的递推公式,求前几项 例 1: 已知数列an满足an12an1,nN*. (1)若a11,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式 (2)若a11,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式 可推测数列an的通项公式an1. (2)a11,a22113,a32317,a427 115.可推测数列an的通项公式为an2n1. 解: (1)a1a2a3a41, 数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和首项(基 础)两个因素所确定的,即便递推关系完全一样,而首项 不同就可得到两个不同的数列 11.根据下列各数列的首项和递推公式,分别写出它的前五项 ,并归纳出通项公式:(1)a10,an1an(2n1)(nN*); (2)a11,an1 2an an2 (nN*) 题型2 已知递推公式,用累加法求通项公式 例 2:已知数列an中,a15,anan13(n2),求数列 an的通项公式 思维突破:先对anan13 从2 到n 进行取值,得到(n1) 个式子,再把这(n1)个式子相加,消去中间项 解:由递推关系anan13(n2),得 a2a13,a3a23,anan13. 将以上(n1)个式子左右两边同时相加,得a2a3an1an a13a23a33an13, 消去a2a3an1,并整理得ana13(n1)a15,an3n2. 若数列有形如an1anf(n)的递推公式, 且可求f(1)f(2)f(n),可用累加法求通项公式 求三角形数1、3、6、10、.这个数列的通项公式 例3 设an是首项为 1 的正项数列,且满足关系: an3an1(nN*),求数列an的通项公式 题型3 已知递推公式,用累乘法求通项公式 练习:已知a11,an12an, (1)写出数列的前五项;(2)求数列的一个通项公式 例4. 数列an中,a1=1,对于所有的n2且 nN+,都有 (1)求a3+a5; (2) 是此数列中的项吗? 解法1:(1)因为 所以,两式相除得 n2,nN+, 题型四:判断所给数是否为数列中的项 所以 解法2:(1)因为 , 所以 解得a2=4, 又解得 同理可得 (2)令 则 解得n=16. 所以 是此数列中的一项。 (2)递推公式的作用 数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式一般地,只要给 出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关 系,就可以依次求出数列的各项 特别提醒:数列的通项公式与递推公式可以相互转化如数列 1,3,5,2n1,的一个通项公式为an2n1(nN),用 递推公式表示为a11,anan12(n2,nN). 1数列的通项公式与递推公式的作用 (1)通项公式的作用 数列的通项公式是给出数列的主要形式如果已知数列an的通项 公式anf(n),只要用1,2,3,代换公式中的n,就可以求出这个 数列的各项与指定项 方法感悟 欢迎你的提问! 课本第 30-32 页 习题 A-B组和例2 能力培养
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