章 1.3导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 问题导学题型探究达标检测 学习目标 知识点一 函数的极值点和极值 问题导学 新知探究 点点落实 答案 思考1 观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值. 答 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h ，极小值为f(d)，f(f)，f(h). 答案 思考2 导数为0的点一定是极值点吗？ 答 不一定，如f(x)x3，尽管f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是 递增的，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0，不是f(x)x3的 极值点. (1)极小值点与极小值 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都 小，f(a) ，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极小值点， 叫做函数yf(x)的极小值. 0 f(x)0 点af(a) 答案 (2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数 值都大，f(b) ，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极大值点， 叫做函数 yf(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 . 0 f(x)0 f(x)0 点b f(b) 极值点极值 知识点二 函数的极值的求法 答案 思考1 极大值一定比极小值大吗？ 答 极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可 能大于另一点的极大值，如图所示. f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)0 f(x)0 极大值 f(x)0 极小值 答 极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函 数的单调性. 类型一 求函数的极值点和极值 解析答案 题型探究 重点难点 个个击破 例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图： (1)f(x)(x21)31； 解 y6x(x21)26x(x1)2(x1)2. 令y0，解得x11，x20，x31. 当x变化时，y，y的变化情况如下表： 当x0时，y有极小值且y极小值0. x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，) y000 y 无极值 极小值0 无极值 解析答案 函数的草图如图所示. 解析答案反思与感悟 令f(x)0，解得xe. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： x(0，e)e(e，) f(x)0 f(x)单调递增单调递减 解析答案反思与感悟 函数的草图如图所示. 反思与感悟 1.讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤如下： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)观察f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方 程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义 的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. 反思与感悟 跟踪训练1 (1)设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的 图象的一部分如图所示，则( ) 解析答案 C.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3) D.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3) 解析 当x0，即f(x)0； 当30，解得a1. (，1) 解析答案 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点 ： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 . (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数 法求解后必须验证根的合理性. 反思与感悟 跟踪训练2 (1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0 在原点处相切，函数的极小值为4. 求a，b，c的值； 解析答案 解 函数图象过原点，c0， 即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb. 又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切， f(0)0，解得b0， f(x)3x22axx(3x2a). a3，bc0. 求函数的递减区间. 解 由(1)知f(x)x33x2且f(x)3x(x2)， 由f(x)0得3x(x2)0，0x2， 函数f(x)的递减区间是(0,2). 解析答案 解析答案 当01时，f(x)0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以函数f(x)在x1处取得极大值. 解析答案 解 f(x)x2(a1)xa， 因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值， 所以f(x)0在(0,1)内有两不等实根， 解析答案 例3 (1)函数f(x) x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点， 则实数a的取值范围是_. 类型三 函数极值的综合应用 解析答案 f(x)x24(x2)(x2). 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，2)2(2,2)2(2，) f(x)00 f(x) 极大值 极小值 解析答案 且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增. 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示， (2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与y f(x) 5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围. 解析答案反思与感悟 解 由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9， 则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即 g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点， g(x)3x214x8(3x2)(x4)， 解析答案反思与感悟 当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表： x(， )( ，4)4(4，) g(x)00 g(x) 16m 反思与感悟 1.解答本例(1)的关键是求出函数f(x)的极值，画出函数的图象，解答本题 (2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化一个新函数的图象与x轴的交 点问题. 2.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本 上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数 图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 反思与感悟 跟踪训练3 若2ln(x2)x2xb0在区间1,1上恰有两个不同的实 数根，求实数b的取值范围. 解析答案返回 解析答案 解 令g(x)2ln(x2)x2xb， g(x)与g(x)在(2，)的变化情况如下表： x(2,0)0(0，) g(x)0 g(x) 2ln 2b 由上表可知函数在x0取得极大值，极大值为2ln 2b. 返回 故实数b的取值范围是(2ln 2,22ln 3. 1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)( ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析答案 达标检测 1234 解析 f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正 ，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点. C 解析答案 1234 2.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范 围为( ) A.1a2 B.3a0， 解得a6或a0，a1. (，1) 4.直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范 围是_. 1234 解析答案 解析 f(x)3x23. 令f(x)0可以得到x1或x1， f(1)2，f(1)2，2a2. 2a2 1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量 的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的 充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交 点问题. 规律与方法 返回