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3.2 导导数的应应用 考纲纲要求 1.了解函数的单调单调 性与导导数的关系;能利 用导导数研究函数的单调单调 性;会求函数的单调单调 区间间(其中多 项项式函数一般不超过过三次).2.了解函数在某点取得极值值的 必要条件和充分条件;会用导导数求函数的极大值值、极小值值 (其中多项项式函数一般不超过过三次);会求闭闭区间间上函数的 最大值值、最小值值(其中多项项式函数一般不超过过三次) 1函数的单调性与导数 在某个区间间(a,b)内,如果f(x)_ 0,那么函数y f(x)在这这个区间间内单调递单调递 增;如果f(x)_ 0,那么函数 yf(x)在这这个区间间内单调递单调递 减 2函数的极值与导数 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时处连续时 , (1)如果在x0附近的左侧侧_,右侧侧_,那 么f(x0)是极大值值; (2)如果在x0附近的左侧侧_,右侧侧_,那么 f(x0)是极小值值 f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 3函数的最值与导数 (1)在闭闭区间间a,b上连续连续 的函数f(x)在a,b上必有最 大值值与最小值值 (2)若函数f(x)在a,b上单调递单调递 增,则则_为为函数 的最小值值,_为为函数的最大值值;若函数f(x)在a,b上 单调递单调递 减,则则_为为函数的最大值值,_为为函数的最小 值值 f(a) f(b) f(a) f(b) (3)设设函数f(x)在a,b上连续连续 ,在(a,b)内可导导,求f(x) 在a,b上的最大值值和最小值值的步骤骤如下: 求f(x)在(a,b)内的极值值; 将f(x)的各极值值与_进进行比较较,其中最大 的一个是最大值值,最小的一个是最小值值 f(a),f(b) 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或 “”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)在此 区间内没有单调性( ) (3)函数的极大值值不一定比极小值值大( ) (4)对对可导导函数f(x),f(x0)0是x0点为为极值值点的充要条 件( ) (5)函数的最大值值不一定是极大值值,函数的最小值值也不 一定是极小值值( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) 1函数f(x)x22ln x的单调递单调递 减区间间是( ) A(0,1) B(1,) C(,1) D(1,1) 【答案】 A 2(2017菏泽模拟)已知定义义在实实数集R上的函数f(x)满满 足f(1)3,且f(x)的导导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR),则则 不等式f(x)2x1的解集为为( ) A(1,) B(,1) C(1,1) D(,1)(1,) 【解析】 令g(x)f(x)2x1,g(x)f(x)20, g(x)在R上为减函数,且g(1)f(1)210. 由g(x)0g(1),得x1,故选A. 【答案】 A 3已知e为为自然对对数的底数,设设函数f(x)(ex1)(x 1)k(k1,2),则则( ) A当k1时时,f(x)在x1处处取到极小值值 B当k1时时,f(x)在x1处处取到极大值值 C当k2时时,f(x)在x1处处取到极小值值 D当k2时时,f(x)在x1处处取到极大值值 【解析】 当k1时,f(x)exx1,f(1)0, x1不是f(x)的极值点 当k2时,f(x)(x1)(xexex2), 显然f(1)0,且在x1附近的左侧,f(x)0, 当x1时,f(x)0, f(x)在x1处取到极小值故选C. 【答案】 C 4(教材改编)如图图是f(x)的导导函数f(x)的图图象,则则f(x) 的极小值值点的个数为为_ 【解析】 由题意知在x1处f(1)0,且其左右两 侧导数符号为左负右正 【答案】 1 当f(x)0,即0xe时,函数f(x)单调递增; 当f(x)0,即xe时,函数f(x)单调递减 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,) 【方法规律】 确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f(x); (3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递 增区间; (4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递 减区间 【答案】 B g(x)exa. 当a0时,g(x)0,函数g(x)在R上单调递增; 当a0时,由g(x)exa0得xln a, x(,ln a)时,g(x)0,g(x)单调递减;x(ln a,)时,g(x)0,g(x)单调递增 综上,当a0时,函数g(x)的单调递增区间为(, );当a0时,函数g(x)的单调递增区间为(ln a,), 单调递减区间为(,ln a) 【方法规律】 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据 参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还 要确定导数为0的点和函数的间断点 (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x) x3,f(x)3x20(f(x)0在x0时取到),f(x)在R上是增 函数 当x4时,g(x)0,故g(x)在(,4)上为减函 数; 当4x1时,g(x)0,故g(x)在(4,1)上为 增函数; 当1x0时,g(x)0,故g(x)在(1,0)上为减函 数; 当x0时,g(x)0,故g(x)在(0,)上为增函数 综上知g(x)在(,4)和(1,0)上为减函数,在( 4,1)和(0,)上为增函数 (1)求b,c的值值; (2)若a0,求函数f(x)的单调单调 区间间; (3)设设函数g(x)f(x)2x,且g(x)在区间间(2,1)内存 在单调递单调递 减区间间,求实实数a的取值值范围围 2若g(x)的单调单调 减区间为间为 (2,1),求a的值值 【解析】 g(x)的单调减区间为(2,1), x12,x21是g(x)0的两个根, (2)(1)a,即a3. 3若g(x)在(2,1)上不单调单调 ,求a的取值值范围围 【解析】 由引申探究1知g(x)在(2,1)上为减函数,a 的范围是(,3, 【方法规律】 已知函数单调性,求参数范围的两 个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:yf(x)在(a,b)上 单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集 (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调 递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来 求解 方法与技巧 1已知函数解析式求单调单调 区间间,实质实质 上是求f(x)0 ,f(x)0的解区间间,并注意定义义域 2含参函数的单调单调 性要分类讨论类讨论 ,通过过确定导导数的 符号判断函数的单调单调 性 3已知函数单调单调 性可以利用已知区间间和函数单调单调 区间间 的包含关系或转转化为为恒成立问题问题 两种思路解决
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