目录 Contents 考情精解读 考点1考点2 A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升 考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 考情精解读1 考试大纲 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题. 数学 第二讲 排列与组合 考纲解读 命题规律 考情精解读2 命题趋势 数学 第二讲 排列与组合 考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域 排列与组合 【60%】 2016四川,4,5分 2014北京,13,5分 2014浙江,14,4分 考纲解读 命题规律 考情精解读3 返回目录 1.热点预测 利用排列、组合解决计数问题是高考 考查本讲内容的热点,以选择题、填空题为主,分值 为5分. 2.趋势分析 预测2018年,仍以利用排列、组合知 识解决计数问题为主,也可能与概率相结合进行考 查. 命题趋势 数学 第二讲 排列与组合 知识全通关 知识全通关1考点1排列与排列数 继续学习 数学 第二讲 排列与组合 1.排列与排列数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中 取出m个元素的排列数,用符号表示. 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n,mN*,且mn). n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有 =n!=n(n-1)(n-2)21. 规定: 0!=1. 知识全通关2 高考帮数学 第二讲 排列与组合 继续学习 【名师提醒】 知识全通关3 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 1.组合与组合数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫作从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合,所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数,用符号 表示. 【辨析比较】 考点2 组合与组合数 排列与组合的异同点 共同点:都是“从n个不同元素中取出m个元素”. 不同点:前者与元素的顺序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”,后者 与元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”. 因此我们可以得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看选出的元素是 否与顺序有关. 知识全通关4 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 (1)对于组合数的第一个公式 ,它体现了组合数与相应 排列数的关系,当n确定而m变化时,组合数与m是一种函数关系,一般在计算具体的组合 数时,常用此公式. (2)第二个公式 的主要作用有:当m,n较大时,利用此公式计算组合数较 为简便;对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式. 3.组合数的性质: 【注意】 知识全通关6 返回目录 高考帮数学 第二讲 排列与组合 【名师提醒 】 组合数的性质的应用:性质(1)主要有两个方面的应用,一是简化运算,当m 时,通 常将计算 转化为计算 ;二是列等式,由 可得x=y或x+y=n. 性质(2)主要应用于恒等变形,简化运算. 题型全突破 考法1排列问题的求解 继续学习 数学 第二讲 排列与组合 题型全突破1 考法透析 求解排列问题的常用方法: 直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注 意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前 面元素的排列空中 先整体, 后局部 “小集团”排列问题中,先整体后局部 除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法正难则反,等价转化的方法 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破2 考法示例1 6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种 不同站法? 【思想分析】 由于最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于甲是特殊元素,也可 采用元素分析法;还可以直接从反面考虑. 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破3 【解析】 解法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分 为两步: 第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有 种站法; 第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有 种站法. 由分步乘法计数原理可知,共有 =480(种)不同的站法. 高考帮数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破4 【解析】 解法二 (元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位 置,分为两步: 第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有 种站法; 第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有 种站法. 由分步乘法计数原理可知,共有 =480(种)不同的站法. 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破4 解法三 (间接法)6人无限制条件排队有 种站法,甲站在最左边或最右边时6人排队有 种站法,因此符合条件的不同站法共有 =480(种). 【点评】解法一和解法二进行排列时总体都进行了分步,体现了特殊元素优先处理的原则 ;解法三中用总数减去不符合要求的站法,体现了正难则反的数学思想,这是我们解决此类问 题时常用的一种思想. 考法2组合问题的求解 继续学习 数学 第二讲 排列与组合 题型全突破5 考法指导 组合问题的常见题型: (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将 这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”与“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含 义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间 接法处理. 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破6 考法示例2 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出 4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 A.85B.86C.91D.90 【思路分析】 可直接求解,也可用间接法求解,注意题目中“至少”的含义. 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破7 【解析】 解法一 (直接法)由题意,可分三类考虑: 第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为 第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为 第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86. 数学 第二讲 排列与组合 继续学习 题型全突破8 【解析】 解法二 (间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有 男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86. 【点评】考法示例2是一个“至少”型问题,解法一在分类时,总体上分了三类, 而在每一类中又分别分了三类;解法二中用了三次间接法. 考法3排列与组合的综合应用 继续学习 高考