27.1圆的认识 一、回顾 如下图，同学们能找到圆心角吗？它 具有什么样的特征？ 顶点在圆心，两 边与圆相交的角叫做 圆心角。 究竟什么样的角是圆周角呢？ 像图（3）中的角就是圆周角，而图 （1）、（2）、（4）、（5）中的角都不 是圆周角。 二、认识圆周角 如何判断一个角是不是圆周角 ? 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做 圆周角 。 练习:指出下图中的圆周角。 思考： （1） （2） （3）（4） （5）（6） 如图，线段AB 是O的直径，点C 是O上任意一点（ 除点A、B）, 那 么 ,ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,ACB会是 怎么样的角？为什 么呢？ 演示 三、探索半圆圆或直径所对对的圆圆周角 的度数 AOC、BOC 都是等腰三角形 OACOCA， OBCOCB 又 OACOBCACB 180 ACBOCAOCB 90 因此，不管点C在O上何处（除点A、B）， ACB总等于90 证明：因为OAOBOC， 半圆或直径所对的圆周角都相等， 都等于90（直角）。 反过来也是成立的，即 90的圆周角所对的弦是圆的直径。 结论 三、探究同一条弧所对的圆周 角和圆心角的关系 如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心 O和圆周角的顶点C， 这时可能出现三种情况: （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部, （3） 折痕在圆周角的外部。 定理的证明 （1）圆心在BAC的一边上. A O B C 由于OA=OC 因此C=BAC 而BOC=BAC+C 所以BAC= BOC 1 2 O A BC （2）圆心在BAC的内部. D 作直径AD. 由于BAD= BOD 1 2 DAC= DOC， 1 2 所以BAD+DAC= （BOD+DOC） 1 2 即BAC= BOC 1 2 O A B C （3）圆心在BAC的外部. D 作直径AD. 由于DAB= DOB 1 2 DAC= DOC， 1 2 所以DAC-DAB= （DOC-DOB） 1 2 即BAC= BOC 1 2 结论： 在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等， 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧也相等。 ACB= ； ADB= ； = . 如图：则有 ACBADB 例 如图，AB为O的直径， A=80 ，求ABC的度数。 A B O 解：AB为O的直径 C=90， 又A=80 B=10 1、试找出图中 所有相等的圆周角。 3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角 分别为（2x100）和（5x30）， 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数. 2、右图是一个圆形的零件， 你能告诉我，它的圆心的位置 吗？你有什么简捷的办法？ 练习一： 2.如图，圆心角AOB=100，则 ACB=_。 O A B C B A O. 70 x 1.求圆中角X的度数。 A O. X 120 3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，COD=500， 则CAD=_ 35 120 130 25 (1)一个概念（圆周角） 内容小结： (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于 该弧所对的圆心角的一半； (3)二个推论： 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相 等 。 练习二： 如图，P是ABC的外接圆上的一点 APC=CPB=60。求证：ABC是等 边三角形。 A P B C O 证明：ABC和APC 都是 所对的圆周角。 AC ABC=APC=60 (同弧所对的圆周角相等） 同理，BAC和CPB都是 所对 的圆周角， BC BAC=CPB=60。 ABC等边三角形。 练练 习习 三三 已知：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证： BD=DE 证明：连结AD. AB是圆的直径，点D在圆上， ADB=90， ADBC， AB=AC， AD平分顶角BAC，即BAD=CAD， BD= DE （同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）。 A B C D E 例1.如图：OA、OB、OC都是O的 半径，AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC. 证明 ： ACB= AOB 1 2 BAC= BOC 1 2 AOC=2BOC A O B C ACB=2BAC 分析 ： 练习： 1.如图，已知圆心角AOB的度数 为100，求圆周角ACB的度数 。 O A B C 答案：130 课堂小结 1、圆周角的概念. 顶点在圆上，角的两边与圆相交的角 。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于所对圆心角 的一半。