1、质量为m的小球可沿半径为r的圆形环轨道运动，环面为 水平面。小球带有固定的正电荷q。设在以环形轨道为其截 面的柱体内有均匀的随时间t变化的磁场，磁感应强度B的方 向垂直于环面。已知t=0时，B=0，小球静止于环上； 0tT时，B随时间t线性增长；t=T时，B=B0。设重力和 摩擦力可忽略。试求：在0tT时间内小球运动状态及小球 对轨道的作用力。 解、在0tT时间内 在环上产生的感生电场为 感生电场力产生的切向加速度为 小球受的磁场力指向圆心 圆环对小球的法向支持力为N，则 2、半径为1cm的两根足够长的平行导线相距20cm,在两导线 中有20A的方向相反 的电流。（1）若将两导线分开到40cm, 试求磁场对单位长度导线所作的功。（2）分开两导线时， 单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来 源或去向。 解、（1）当两导线分开到相距40cm时，磁场对单位 导线作的功为 （2）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得 能量的来源电源做功 3、如图所示,ABCDA是闭合导体回路,总电阻为R,AB段的一 部分绕成初始半径为r0 的小圆圈.圆圈所在区域有与平面垂直 的均匀磁场B.回路的B端固定,C、D为自由端。A端在沿BA方 向的恒力F的作用下向右移动。从而使圆圈缓慢缩小。设在 缩小过程中，线圈始终保持圆的形状。并设导体回路是软的 ，阻力不计。试求此圆圈从初始半径r0到完全闭合所需的时 间T。 解：设在F的作用下，A在dt时间内右移dx,相应的圆圈半径 缩小-dr,则 圆圈内产生的感应电动势，产生的热能为 能量守恒得： 4、如图，在一半径为r，质量为m，可以无摩擦地自由转动 的匀质绝缘圆盘中部装有一纲线螺线管，其半径为a,沿轴线 方向单位长度上绕有n匝线圈。线圈中通以稳恒电流I。在圆 盘的边缘上均匀地嵌着N个等量正电荷q的小球。设开始时， 螺旋管中的电流为I，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘 转动的角速度。 解、设切断电流后，在t时间内从I减少为零，在此过程中电 流为i(t),产生的磁场为： 解产生的感应电场为： 感应电流的方向与原电流方向一致 在半径为r的圆周上的N个小球所受 的总的切向力为 它对转轴形成的力矩为 由刚体的角动量定理可得 5、磁带录音与放音 输入电流信号 磁带 录音磁头 磁记录是一项广泛使用的信息技术。它利用了铁磁材 料的特性与电磁感应定律。以磁带录音与放音为例， 用涂敷铁磁粉的磁带来记录声音信息。录音时，录音 磁头的线圈内通以由输入的音频信号经放大后转化成 的电流信号，当磁带以恒定的速度通过录音磁头的气 隙下时，磁粉被磁化，磁化强度与该时刻的信号电流 成正比，于是电流信息（从而声音信息）就存贮在磁 带上。放音时，磁带以同样物速度通过磁头的气隙下 时，磁粉？磁的强强弱变化引起放音磁头内磁场的变 化，通过电磁感应，在输出线圈中产生同步变化的电 流，经放大再转化为声频信号。试分析磁带的电磁学 原理。 录音与放音磁头要用磁导率比较大的而待？软磁材 料，以使磁磁头的磁化强度较大，且与输入、输出电 流同步变化。磁带上的磁粉则要用？磁和矫顽力都比 较大的硬磁材料，以利于存贮信号。为保证磁头中磁 感应强度值的变化与电流变化成正比，以避免失真， 可在输入录音信号的同时，输入一个等幅振荡的电流 ，以使信号只在磁化曲线的直线部分变化。 录音时，气隙中磁场与磁带上的磁化强度与信号电流 成正比，则当磁带移动时，磁化强度M沿磁带的分布 为 放音时，磁带上的磁化强度与信号电流成正比，则当磁带移动 时，磁化强度M沿磁带的分布为 若放音磁头有N匝线圈，铁芯截面积为A，则全磁通 线圈中的感生电动势为 输出电流为 为了抹去磁带中录入的信息，只要在磁带通过时，在磁头的 线圈内通以等幅振荡电流就可以了，这就是消音。 6、恒定磁场中下落的圆环 一个半径为r,横截面积为A的圆环是由密度为d,电阻率为的金 属制成的.把金属圆环放到磁感应强度值为B的辐射状磁场(B的 方向垂直于圆环的轴线),如图所示.分析圆环在这恒定磁场中 下落的运动情况. 圆环 解、圆环下落的瞬时速度为V时,由电磁感应定律可知,圆环中 的感应电动势为 感应电流 安培力 其中圆环的质量 由第二定律得 终极速度 积分得 下落距离 7、磁力悬浮 如图，在铁芯顶端？上一个小铝环。当线圈中通以 220v的交流电时，铝环便悬浮起来，试用电磁感应理 论说明。 铝环 解:设稳定后,原线圈中的电 流强度为 铝环中的感生电流强度为I 则通过铝环所包围面积的 磁通量为 铝环 式中M为互感系数,L为自感系数 铝环电阻为R,则i满足微分方程 当达到稳定状态时电流i将与交流电频率相同的角频率作 周期性的变化.为求稳定状态下的电流I,可求微分方程的特 解 代入微分方程,可解得 铝环中的感生电流的幅值与I0 和M均成正比,但它的相位与原线 圈中电流的相位相差,讨论两种情况: (1)铝环的电阻很小,确切地说,电阻R比感抗L小得多,这时 = . 这时原线圈与铝环中的电流方向相反,互相排斥,当斥力能 够平衡它所受到的重力时,铝环就能悬浮起来.若斥力很大, 会出现”?环”现象. (2)铝环的电阻R不能忽略,则在/2和之间.这时i的方向与I的方 向,时而相同,时而相反.但在一个周期内相反 的时间大于相同的 时间.平均说来,相互排斥力胜过相互吸引力,铝环就悬浮在空中. 只要铝环电阻比较小,而交流电的频率又较大,总能出现悬浮现 象,由以上讨论可知,悬力悬浮是自感和互感共同作用的结果,不 考虑自感,是不能解释磁力悬浮现象的. 8、电磁制动器 如图所示的电磁制动器是由非磁性的金属圆盘和放生垂直于 圆盘的磁场的磁铁(没画出)组成. 当圆盘转动时,因电磁感应而使圆盘受到阻力矩的作用,从而 使其转速减慢直至停止不考虑摩擦等其它阻力的影响. (1)求阻力矩的M的近似表达式;(2)开始制动后经过多长时间, 圆盘的角速度减小到原来 的百分之一. 解、(1)在圆盘上沿径向长度为a的线段内因切割磁感应线而产生 的感应电动势为 小金属块的电阻为 沿径向流过这一块金属的感应电流为 安培力 制动力矩 (2)由转动定律得 角速度减到1/1000时所需要的时间 磁场子越强,磁场子覆盖面离轴越远,制动就越快. 9、电磁异步驱动 如果使磁铁所放生的磁场垂直地通过金属圆盘,则当磁铁转动时, 将因电磁感应而驱使金属圆盘作同方向转动.同样,若磁场相对于 金属线框作平行于线框平面的移动,也将驱使金属线框沿同方向 的移动.以上现象称为电磁驱动.以金属线框驱动为例说明异步驱 动的原理. 如图,设矩形线框abcd质量为m,其回路电阻为R,在t=0时刻,线框 一边ad与磁场边界重合,ad边长度为L,磁场务右移动速率为Vb,若 线框移动速度为V,试证明:VVb. 解:设线框ad边与磁场边界重合时为计时零点,经时间t,磁场向右 移动距离Vbt,线框向右移动距离为x,则在时刻t,通过线框的磁通 量为 则电磁感应定律,感应电动势的数值为 感应电流为逆 时针方向 安培力方向向右 线圈运动满足动力学方程 考虑初始条件对上式积分得 10、高频感应加热 处在交变磁场中的金属块，由于变化磁场放生的感应电动势在金 属块中引起涡旋状感生电流，利用涡流所释放出的焦耳热来加热 金属块，这就是高频感应炉的工作原理。如图，将一个直径为D ，高为h的圆柱形金属块放在高频感应炉中加热。设感应炉线圈 产生的磁场是均匀的，磁感应强度的方均根为B*，频率为f。金 属柱的轴平行于磁场，其电导率为。设金属是非磁性材料且涡 电流产生的磁场可以忽略。试证明在金属柱内产生的平均热功率 为 解：考虑半径为r，厚度为dr的一个薄圆筒，如图所示，筒中 的磁通量为 该薄圆筒的电阻（沿圆周方向）为 该薄圆筒内涡流产生的瞬时热功率为 平均热功率为 式中 11、电子感应加速器 电子感应加速器在科学研究、工业生产以及医疗卫生事业等方 面都得到了广泛的应用。其结构如图a所示。在电磁铁两极间有 一个环形真空室，在交变电流的激励下，两极间出现交变的磁 场，某一瞬间的磁感应线如图b所示。这交变磁场又激发一感 生电场。从电子枪射入真空室的电子受到两个力的作用：一个 是沿切线方向的感生电场，它使得电子不断加速，另一个沿径 向的磁场力，它充当向心力，因此电子能保持在环形真空室内 不断地作圆周运动。 （1）电子感应加速器中，电子被加速的时间有多久？电子能获 得多大能量？ （2）要使电子维持在恒定的圆形轨道上加速，磁场的分布应 该满足什么条件？ （3）若电子加速的时间是4.2ms，电子轨道内最大磁通量为 1.8Wb，试求电子沿轨道绕行一周平均获得的能量。如果电子 最后获得的能量为100MeV，电子绕行了多少周？如果电子轨 道半径为84cm，电子运行的路程是多少？ 电子轨道 真空室 解(1)在磁场变化一个周期中，只有1/4的周期内才能满足磁场 力为电子提供向心力和电子在圆轨道上被加速这样两个基本要 求。 (2)要维持电子在环形真空室的恒定圆形轨道上加速，应该使 向心力随电子的速率增加而相应增加，由此可以推导出磁场分 布情况所满足的条件。 设半径为r的圆周内磁感应强度平均值为 则由电磁感应定律可知感应电动势为 电生电场强度为 另一方面，由动量定理 ，在dt时间内，电子动量增量为 积分得 对于在半径为r的轨道上运动的电子有 由（2）（3）得 电子能在一个稳定的轨道上运动，磁场分布满足的条件： 每一时刻轨道上磁感应强度的值必须等于轨道内磁感应强 度平均值的一半，这在设计电磁铁时所要求的。 （3）电子？行一周获得的动能 最后获得的动能100Mev,它线行的圈数为 期间电子行的路程为 12、感应电动机中的旋转磁场 利用三相交流电可以产生旋转磁场,如图所示,将三相交流电 分别通以彼此成120度的线圈AA1,BB1和CC1中,在这三组线 圈中将产生磁场B1,B2和B3.证明:三者的矢量叠迭给出一个 大小不变但以恒定角速度放置的磁感应强度(称为旋转磁场 ). 总磁感应强度B的大小为 B矢量与y轴的夹角为 因此合磁场以恒定的角速度旋转.如果在这样的旋转磁场中 放一个笼子,其转轴垂直于旋转磁场平面,则当磁场旋转时, 转子中将产生感应电流,转子将跟着旋转,这就是感应电动机 的原理.但转子的转速必小于旋转的磁场,与电磁异步驱动.