重重 庆庆 大大 学学 学学 生生 实实 验验 报报 告告 实验课程名称实验课程名称 偏微分偏微分方程方程数值解数值解 开课实验室开课实验室 数统学院数统学院 学学 院院 数统学院数统学院 年级年级 2012 专业班专业班 数学数学 01 班班 学学 生生 姓姓 名名 申昭强申昭强 学学 号号 20122002 开开 课课 时时 间间 2014 至至 2015 学年第学年第 2 学期学期 总总 成成 绩绩 教师签名教师签名 数学与统计学院制数学与统计学院制 开课学院、实验室：开课学院、实验室： 数统数统学院学院 实验时间实验时间 ： 2015 年年 5 月月 25 日日 实验项目实验项目 名名 称称 初值问题的初值问题的 EulerEuler 方法和梯形法方法和梯形法 实验项目类型实验项目类型 验证验证 演示演示 综合综合 设计设计 其他其他 指导教师指导教师 徐立伟徐立伟 成成 绩绩 是是 一实验目的一实验目的 通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法， 并能通过计算机语言编程 实现这两种算法。 二实验内容二实验内容 考虑如下的初值问题： ,0,1 01 du u t dt u 该问题有解析解 t u t = e。 1. 用 欧 拉 法 求 解 该 问 题 ， 取 步 长0.2,0.1,0.05h=， 将 3 种 步 长 的 计 算 结 果 （,1,2,.,1/ n t = nh nh时刻的计算结果） ，解析结果和相应的绝对误差列表显示。 2. 用 梯 形 法 求 解 该 问 题 ， 取 步 长0.2,0.1,0.05h=， 将 3 种 步 长 的 计 算 结 果 （,1,2,.,1/ n t = nh nh时刻的计算结果） ，解析结果和相应的绝对误差列表显示。 3. 在同一种方法下，请说明哪种网格大小的计算结果更加精确，并说明理由。在相同的网 格大小下，比较上述两种算法的计算结果，那种算法的结果要好一些，并说明理由。 三实验原理、方法（算法） 、步骤三实验原理、方法（算法） 、步骤 1欧拉法的迭代格式及其误差估计： 1 , nnnn u=uhf t u， nn uu tO h。 2. 梯形法的迭代格式及其误差估计。 111 0.5, nnnnnn u=uh f t uf tu， nn uu tO h。 四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 五五实验结果及实例分析实验结果及实例分析 1 1、欧拉法、欧拉法; ; H=0.2H=0.2 H=0,1H=0,1 H=0H=0.05.05 数值解 解析解 误差 数值解 解析解 误差 数值解 解析解 误差 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1.2 1.2214 0.0214 1.1 1.1052 0.0052 1.05 1.0513 0.0013 1.44 1.4918 0.0518 1.21 1.2214 0.0114 1.1025 1.1052 0.0027 1.728 1.8221 0.0941 1.331 1.3499 0.0189 1.1576 1.1618 0.0042 2.0736 2.2255 0.1519 1.4641 1.4918 0.0277 1.2155 1.2214 0.0059 2.4883 2.7183 0.23 1.6105 1.6487 0.0382 1.2763 1.284 0.0077 1.7716 1.8221 0.0506 1.3401 1.3499 0.0098 1.9487 2.0138 0.065 1.4071 1.4191 0.012 2.1436 2.2255 0.082 1.4775 1.4918 0.0144 2.3579 2.4596 0.1017 1.5513 1.5683 0.017 2.5937 2.7183 0.1245 1.6289 1.6487 0.0198 1.7103 1.7333 0.0229 1.7959 1.8221 0.0263 1.8856 1.9155 0.0299 1.9799 2.0138 0.0338 2.0789 2.117 0.0381 2.1829 2.2255 0.0427 2.292 2.3396 0.0476 2.4066 2.4596 0.053 2.527 2.5857 0.0588 2.6533 2.7183 0.065 2 2、梯形方法：、梯形方法： H=0.2H=0.2 H=0,1H=0,1 H=0.05H=0.05 解析解 误差 数值解 解析解 误差 数值解 解析解 误差 数值解 1 1.2214 0.2214 1 1.1052 0.1052 1 1.0513 0.0513 1.2222 1.4918 0.2696 1.1053 1.2214 0.1161 1.0513 1.1052 0.0539 1.4938 1.8221 0.3283 1.2216 1.3499 0.1283 1.1052 1.1618 0.0566 1.8258 2.2255 0.3998 1.3502 1.4918 0.1416 1.1619 1.2214 0.0595 2.2315 2.7183 0.4868 1.4923 1.6487 0.1564 1.2215 1.284 0.0626 2.7274 3.3201 0.5927 1.6494 1.8221 0.1727 1.2841 1.3499 0.0658 1.823 2.0138 0.1907 1.3499 1.4191 0.0691 2.0149 2.2255 0.2106 1.4192 1.4918 0.0727 2.227 2.4596 0.2326 1.4919 1.5683 0.0764 2.4615 2.7183 0.2568 1.5685 1.6487 0.0803 2.7206 3.0042 0.2836 1.6489 1.7333 0.0844 1.7335 1.8221 0.0887 1.8223 1.9155 0.0932 1.9158 2.0138 0.098 2.014 2.117 0.103 2.1173 2.2255 0.1082 2.2259 2.3396 0.1137 2.3401 2.4596 0.1195 2.4601 2.5857 0.1256 2.5862 2.7183 0.1321 2.7188 2.8577 0.1388 3 3、结果分析：、结果分析： 在同一种方法下，网格越小，误差越小；因为剖分网格越小，其每一步误差越小，其折在同一种方法下，网格越小，误差越小；因为剖分网格越小，其每一步误差越小，其折 线图与解析解图更接近，所以误差越小。线图与解析解图更接近，所以误差越小。 在两种算法中，梯形方法的误差要比在两种算法中，梯形方法的误差要比 eulereuler 方法误差小，原因是梯形方法用到了对方法误差小，原因是梯形方法用到了对 x x 剖剖 分网格的两端，而欧拉方法之用到其中一端。分网格的两端，而欧拉方法之用到其中一端。 六六 程序程序 欧拉法程序：欧拉法程序： function u,y,v=eul(h) a=0;b=1; n=(b-a)/h x(1)=0 u(1)=1 for i=1:n x(i)=x(1)+h*i; u(i+1)=u(i)+h*u(i); end for i=1:n+1 x(i)=a+h*(i-1); y(i)=exp(x(i); end for i=1:n+1 v(i)=abs(u(i)-y(i); end 梯形法：梯形法： function u,y,v=tixing(h) a=0;b=1; n=(b-a)/h; x(1)=0; u(1)=1; for i=1:n x(i)=x(1)+h*i; u(i+1)=(u(i)+0.5*h*u(i)/(1-0.5*h); end for i=1:n+1 x(i)=a+h*i; y(i)=exp(x(i); v(i)=abs(u(i)-y(i); end 教师签名教师签名 年年 月月 日日 开课学院、实验室：开课学院、实验室： 数统数统学院学院 实验时间实验时间 ： 2015 年年 5 月月 25 日日 实验项目实验项目 名名 称称 初值问题的初值问题的 RungeRunge- -KuttaKutta 法法 实验项目类型实验项目类型 验证验证 演示演示 综合综合 设计设计 其他其他 指导教师指导教师 成成 绩绩 是是 一实验目的一实验目的 通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的二阶，三阶和四阶 Runge-Kutta 法，并能通 过计算机语言编程实现这些算法。 二实验内容二实验内容 考虑如下的初值问题： ,0,1 01 du u t dt u 该问题有解析解 t u t = e。 4. 用二阶 Runge-Kutta 法求解该问题，取步长0.2,0.1,0.05h=，将 3 种步长的计算结果 （,1,2,.,1/ n t = nh nh时刻的计算结果） ，解析结果和相应的绝对误差列表显示。根据所 计算误差，求出每种步长的最大绝对误差，然后将步长，最大绝对误差和收敛阶列表显 示。解释你所得到的计算结果。 5. 用三阶 Runge-Kutta 法求解该问题，取步长0.2,0.1,0.05h=，将 3 种步长的计算结果 （,1,2,.,1/ n t = nh nh时刻的计算结果） ，解析结果和相应的绝对误差列表显示。根据所 计算误差，求出每种步长的最大绝对误差，然后将步长，最大绝对误差和收敛阶列表显 示。解释你所得到的计算结果。 6. 用四阶 Runge-Kutta 法求解该问题，取步长0.2,0.1,0.05h=，将 3 种步长的计算结果 （,1,2,.,1/ n t = nh nh时刻的计算结果） ，解析结果和相应的绝对误差列表显示。根据所 计算误差，求出每种步长的最大绝对误差，然后将步长，最大绝对误差和收敛阶列表显 示。解释你所得到的计算结果。 7. 将你所使用的二阶，三阶和四阶 Runge-Kutta 法的迭代公式写在第三部分。 三实验原理、方法（算法） 、步骤三实验原理、方法（算法） 、步骤 二阶 112 1 211 1 () 2 (,) jj j jj yykk kkf kkf tyk 三阶 1123 1 21 3112 1 (4) 6 ( ,) 11 (,) 22 (,2) jj jj jj jj yykkk kkf ty kkf tk yk kkf tykk 四阶 11234 1 21 32 413 1 (22) 6 1 (,) 22 1 (,) 22 (,) jj j jj jj jj yykkkk kkf k kkf tyk k kkf tyk kkf tyk 四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 MatlabMatlab 五实验结果及实例分析五实验结果及实例分析 二阶 Runge-Kutta 法 （说明：括号内为误差的单位） H=02 H=02 （1.0e1.0e- -0 03 3） H=0.1 H=0.1 （1.0e1.0e- -0 03 3） H=0.0