第六章 空间力系 重心 6-1 6-1 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题 6-2 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 6-3 6-3 力对轴之矩力对轴之矩 6-4 6-4 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 6-5 6-5 重心重心 力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间力系的平衡方程 重心 【本章重点内容】 6-1 工程中的空间力系问题 空间力系 ： 作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且 也不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。 径向轴承约束反力： 径向止推轴承约束反力： 切削力： D点： A点： B点： 右图： 空间力系实例 ： 有效推进力飞机向前飞行 有效升力 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头 侧向力 滚转力矩 偏航力矩 俯仰力矩 空间一般力系 空间平行力系空间汇交力系 空间力系的分类 平面力 在x轴，y轴投影分别为 合力的大小为： 方向为： 作用点为力的汇交点. 6-2 力在空间坐标轴上的投影 1、直接投影法 一、力在空间直角坐标轴上的投影 6-2 力在空间坐标轴上的投影 （6-1a） 已知力F与三个坐标轴的夹角 力F直接向坐标轴投影的方法称为直接投影法。 力F在坐标轴的投影为： 直接投影法 2、间接（二次）投影法 一、力在空间直角坐标轴上的投影 （6-1b） 先将力F投影到xoy平面上 已知力F与z轴正向间的夹角 及将力F投影到z轴上。 一次投影 二次投影 间接投影法（二次投影法） 以及 先将力向一个坐标平面投影， 再求出力在三个轴的投影。 再将力 投影到x、y轴上， （6-2） 反过来，如果已知力F在三个轴x、y、z上的投影 Fx、Fy、Fz，求力F 例6-1已知： 、 、 求：力 在三个坐标轴上的投影。 二、例题 力对点之矩（力矩） 6-3 力对轴之矩 6-3 力对轴之矩 一、力对轴之矩 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。只 不过轴通过该点，与该平面垂直 空间的力对轴之矩： 定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩. 力对轴之矩的定义 力 对 轴 之 矩 实 例 F F Fz Fx Fy （a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； （b）力与轴垂直，力对轴的力矩等于零； （c）力在轴垂直的平面，力对轴的力矩等于零 正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。 d、力不在垂直转轴的平面内 空间力系中，力对z轴之矩 等于力在垂直于z轴 的平面内的投影Fxy 与力臂d（即轴与平面的交点O到力Fxy 的垂直距离）的乘积。 右手螺旋法 力对轴之矩代数量的正负号 力对轴之矩： 用来量度力使物体绕轴转动效应的物理量 例题6-1 半径为r的斜齿轮，其上作用有力F，见下图。 求力F沿坐标轴的投影及 力F对Y轴之矩 例6-1 解：力F在三轴上的投影为： （圆周力） （轴向力） （径向力） F对y轴之矩为： 二、合力矩定理 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各 分力对同一轴之矩的代数和，称为空间力系的合 理矩定理。 空间力系合力矩定理 常用来确定物体的重心位置，以及用分力矩计算合力矩 6-4 空间力系的平衡方程 一、空间力系的简化 空间力系的简化 与平面一般力系的简化方法一样，空间力系也 可以简化为一个合力和一个合力偶。 空间力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。 空间力系的平衡方程： 空间一般力系平衡的充要条件： 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，以及这些力 对于每一个坐标轴之矩的代数和也等于零。 二、空间力系的平衡方程 （6-5） 空间力系满足上述六个方程，则物体必然保持平衡状态。 四、空间平行力系的平衡方程： 三、空间汇交力系的平衡方程 （6-6） （6-7） 由于： 由于： 求解空间力系的平衡问题时， 可以直接利用 空间一般力系的6个平衡方程，也可以将空间 力系转化为三个坐标平面内的平面力系来处理 。 例题6-2方法一：直接利用空间力系平衡方程求解 方法二：将空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题来求解 在Axz平面 在Ayz平面 在Axy平面 例题6-3 在Axz平面 在Ayz平面 在Axy平面 1. 平行力系中心 6-5 平行行力系中心和重心 重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动 力学问题有关。 因此需要了解什么是重心？重心的位置怎样确定？ 结论:平行力系中,合力作用点C的位置只与各平行力 的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关。 点C称为该平行力系的中心。 F1 A1 F2 A2 Fn An z y x o x1 y1 z1 C R zC xC yC RyC=F1y1+ F2y2+Fnyn = Fiyi 而 R= Fi 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体想象成由 无数的质点组成，则每个质点都受地球引力作用，则这 些引力便构成空间汇交力系（交与地心）。由于物体的 尺寸比地球半径小得多，因此可近似地认为个这力系是 一空间平行力系，此平行力系的合力W,就是物体的重力 。通过实验我们知道，不论物体如何放置，这些平行力 系的合力的总是通过物体内的一个确定的点平行力 系的中心，这个点称为物体的重心。 重心的概念 平行力系的合力W, 就是物体的重力 平行力系的中心，这个点称为物体的重心。 6-6 重心坐标公式 1、重心坐标的一般分式 Y X Z W1 W2 Wn Wx1 y1 z1 x2 y2 z 2 yn x n z n C x c y c z c 由合力矩定理，合力W对轴之矩等 于各分力对同轴之矩的代数和。如 对x, y, z轴之矩有： 重心 坐标 公式 重心 坐标 公式 在均匀重力场内，质心与其重心位置重合 对于均质连续体 设i为物体单位体积的重量,则: wi= i vi, 对于连续体,n 2、均质物体的重心坐标公式 均质物体的重量是均布的，如物体单位体积的重量为， 物体体积为V，则： 重心坐标式 均质物体的重心也称 为物体的形心 对于均质连续体 设i为物体单位体积的重量,则: wi= i vi, 对于连续体,n 体积重心: 设i为物体单位面积的重量,则: pi= i Ai, 对于连续体,n 面积重心:（均质等厚物体，如薄壳） 线重心:（均质等截面曲杆，如绳、索等） 3、均质薄板的重心 设板厚度为h，面积为A，将薄板分成若干微小部分，每 个微小部分的面积为A1，A2，An 重心坐标式 y x o xc yc C 重心坐标式 6-7 物体重心的求法 1 1、对称性法当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均匀物体，其重 心一定在对称轴、对称面或对称中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。 2 2、分割法将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部分 容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重心 坐标公式可以查表）。 例题6-4：试求图示截面重心的位置。 解：将图示截面分成图示三部分 可得Z形截面重心位置为： 3 3、负面积法、负面积法若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心。此时，仍可应 用分割法，但切取的部分面积在计算时取负值。 例题6-5：试求图示偏心块截面的重心。R =10 cm, r =1.3 cm, b=1.7 cm 解：将图示截面分成三部分： 半径为 R 的半圆、半径为（r+b）的半圆和半径为 r 的整圆。图示形状相当于从 R 半圆和（r+b）半 圆中挖掉半径为 r 整圆。 R r b x y 三部分的面积及其坐标为： 可得偏心块C的坐标分别为： R r b x y 实验法测算重心 出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。 （1）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重 心，需要通过实验测算。 （2）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值 有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心，需要通过实验测算物 体的重心。 实验方法主要有：悬挂法和称重法。 称重法 悬挂法 A B A B C W A B R xC L 简单形体的形心 研究内容研究内容 平面力系 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系平面一般力系 力系简化力系简化 平衡条件及方程平衡条件及方程 空间力系：力的投影，平衡条件及平衡方程，简化为平面 力系 物体重心的求法 难点：考虑摩擦时物体的平衡问题难点：考虑摩擦时物体的平衡问题 （1） 力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用 线移动到该刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效果。 必须强调的是，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变形体。 当研究物体的内力、变形时，将力的作用点沿着作用线移动，必然使该力 对物体的内效应发生改变。 在考虑刚体的平衡问题时，力的三要素可改为“大小、方向、作用线 ”。 （2） 三力平衡汇交原理：若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡 ，则此三个力的作用线必在同一平面内且汇交于一点。 由此可知，刚体受不平行的三力作用而平衡时，如果已知其中两个力 的方向，则第三个力的方向就可以按三力平衡汇交原理确定。 静力学基本原理的两个推论： 一、求约束反力一、求约束反力 约束反力类型： N Fy Fx F Fy Fx m Fy Fx T 柔体约束 光滑接触面约束 柱铰链和固定铰支座 可动铰支座 固定端支座 中间铰滑槽与销钉 轴承约束 向心轴承 集中力，力偶，分布载荷； A B b qm l 2l / 3 C R A ab B q R C l / 2 l q 荷载按分布形式可分为 可将画受力图时应注意的问题归纳如下： （1）不要漏画力 必须搞清楚所研究的对象(受力物体)与周围哪些物体(施力物体)相接触。在接触点处 均可能有约束反力 。 （2）不要多画力 力是物体间的相互作用。对受力图上的每一个力，都应能明确指出它是由哪一个施力 物体施加的。如 某一个力指不出施力物体，该力则为多画的力。 （3）不要画错约束反力的方向 约束反力的方向必须严格按照约束的性质确定，不能凭主观感觉猜测。 （4） 注意作用与反作用关系 在两物体相互联结处，注意两物体之间作用力与反作用力的等值、反向、共线关系。 （5）注意区分内力和外力 所谓内力，是指系统内部各物体之间的相互作用力。所谓外力，是指系统以外的其他物体对系统的作 用力。内力和外力的区分不是绝对的，而是相对的。当所取的脱离体不同时，原来是内力的力可能转化为外 力。反之亦然。 内力总是成对出现。 （6） 约束反力的一致性 同一个约束反力，在各受力图中的表示、假设指向都必须一致。 二、画受力图二、画受力图 二、画受力图二、画受力图约束反力、局部受力约束反力、局部受力 三、力系的平衡条件与平衡方程 1、力系平衡的必要和充分条件 力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩分别等于零。 特例： （1）汇交力系平衡的必要和充分条件：力系的合力等于零。 用几何法求解时，平衡条件可理解为：力多边形自行封闭。 用解析法求解时，平衡条件可理解为：合力在任一坐标轴上的投影为零。 （2）力偶系平衡的必要和充分条件：合力偶矩等于零，即空间力偶系中所有力 偶矩矢的矢量和等于零，平面力偶系中