第十三章 动 能 定 理 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同， 动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅 在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通 机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立 了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量 功之间的联系，这是一种能量传递的规律。 功是代数量 13-1 力的功 常力在直线运动中的功 单位 J（焦耳） 1 J = 1 Nm 元功 即 变力在曲线运动中的功 变力在无限小位移 dr 中可视为常力 在无限小位移中做的功称 为元功。 记 则 力 在 路程上的功为 1、重力的功 质点系 由 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 得 几种常见力的功 2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹 性 力弹性力的功为 因 式中 得 即 弹性力的功也与路径无关 3. 定轴转动刚物体上作用力的功 则 若 常量 由 得 从角 转动到角 过程中力 的功为 13-2 质点和质点系的动能 2、质点系的动能 1、质点的动能 m为质点的质量，v为速度。动能的单位：J（焦耳） 刚体是特殊的质点系，所以刚体的动能 由刚体的运动形式决定。 （1）平移刚体的动能 （2）定轴转动刚体的动能 即 即 即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质 心转动的动能之和. 得 速度瞬心为P （3）平面运动刚体的动能 上面结论也适用于刚体的任意运动. 将 两端点乘 dr , 由于 13-3 动能定理 1、质点的动能定理 因此 得 上式称为质点动能定理的微分形式，即 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个 过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的 功. 积分之,有 2、质点系的动能定理 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增 量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 由 求和 得 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一 段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作 用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和. 积分之,有 3、理想约束及内力做功 （1） 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、 柔索类等约束的约束力作功等于零. 约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可. 注意：一般的摩擦力是做功的，不是理想约束。 3、理想约束及内力做功 内力作功之和不一定等于零. （2）质点系内力的功 只只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等 于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。 当系统内包含发动机或变形元件（如弹簧、可伸长绳索等）， 内力的功必须考虑。 例13-1 已知:m, h, k, 其它质量不计. 求: 解:质点的运动在I位置和II位置时， 速度都是零。故有 （舍去了负值 ） mg Fk 例13-2 已知：轮O 的R1 、m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮 C 的R2 、m2 纯滚动, 初始静止 ; ,M 为常力偶。 求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度 轮C与轮O共同作为一个质点系，进行受力 分析和运动分析。 解: 2 1 vc 写出系统的功和动能 2 1 vc 注意到： 由动能定理： 式(a)是函数关系式，两端对t求导,得 消去Vc，得 2 1 vc 求:冲断试件需用的能量 例13-3 冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计， 在 时静止释放，冲断试件后摆至 得冲断试件需要的能量为 解:系统仅受重力作用 例13-4 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运 动, 摩擦系数f, 初静止 求:O走过S路程时、 圆盘速度瞬心为C , 解: vo 均不作功. vo 注意: 1、摩擦力Fd 的功 S是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移. 将式(a)两端对t求导,并利用 得 求: 转过角的、 例13-5:已知: , 均质;杆m均质, =l , M= 常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止. 研究整个系统，受力分析和运动分析如图。 解: 式(a)对任何均成立,是函数关系,两端求导 得 注意:轮、接触点C存在摩 擦力Fs,但作用于速度瞬心,此 点无相对移动，故不作功. 例13-6:均质杆OB=AB=l, 质量m，系统在铅垂面内;M= 常量,初始静止,不计摩擦. 求:当A运动到O点时, 解:取系统为研究对象,受力分析、运动分析如图 mgmg M VAVA VB AB OB 图中C为AB杆的瞬心 mgmg M VA VC VB 图中C为AB杆的瞬心，当A到达O时,运动分析如图，注意到 AB OB 由于欲求VA， mgmg M VA VC VB AB OB 即 整理，得 13-4 功率、功率方程、机械效率 1、功率：单位时间力所作的功称功率 即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 由 , 得 单位W（瓦特）,1W=1J/S 作用在转动刚体上的力的功率为 2、功率方程 称功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质 点系的所有力的功率的代数和. 或 3、机械效率 机械效率 有效功率 多级转动系统 例13-7 已知: 若 ，求F的最大值。 求:切削力F的最大值 解: 当时 13-5 势力场.势能.机械能守恒定律 1.势力场 势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径 无关. 2.势能 称势能零点 力场 （1）重力场中心势能 （2）弹性力场的势能 质点系的零势能位置是指各质点都处于其零势能点的一组位置 。 注意：各有势力可有各自的零势能点 例:已知 均质杆l, m 弹簧强度 k, AB水平时平衡， 弹簧变形 求：系统的势能 取弹簧自然位置O为弹性零势能点；水平位置为重力势能零点: 由得 取杆平衡位置为零势能位置: 即 3. 机械能守恒定律 由 即:质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系 统称保守系统 及 得 质点系在势力场中运动,有势力功为 M0 M1 M2 例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下 降，钢索 k=3.35 N/m . 求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力. 卡住前 卡住时: 解: 得 即 由 有 取水平位置为零势能位置 例:已知：m, , k水平位置平衡 OD=CD=b 求：初速 时， =? 解: 例:已知 均质园轮 m, r, R ,纯滚动 求:轮心的运动微分方程 解: 重力的功率 （ 很小） 本题也可用机械能守恒定律求解.取O为势能零点 得 例:已知两均质轮m ,R ; 物块m ,纯滚动,于弹簧原 长处无初速释放. 求：重物下降h时 ,v、a及滚轮与地面的摩擦力. 解: (1)用动能定理 求运动 mg h Fk 将式（a）对t 求导 （a） 得 其中 取C轮研究，受力如图 例:已知 轮I :r, m1; 轮III :r,m3; 轮II :R=2r, m2;压力角（即齿轮 间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度,物块:mA;摩擦力不 计. 求:O1 O2处的约束力. 其中 解: 利用 其中 研究 I 轮 压力角为 研究物块A 研究II轮 例9：已知,m,R, k, CA=2R为弹簧原长,M为常力偶. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力 解: 得 例 均质杆AB,l, m,初始铅直静止,无摩擦 求：1.B端未脱离墙时,摆至角位 置时的 , ,FBx ,FBy 2. B端脱离瞬间的3.杆着地时的vC及 2 解:(1) (2) 脱离瞬间时 (3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时 杆着地时, AC水平 由铅直水平全过程 式中 例13-8: 已知 m . l0 .k . R . J 求:系统的运动微分方程。 解: 令 为弹簧静伸长，即mg=k , 以平衡位置为原点