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3.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性? f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x)在 某个区间内可导 二、如何求函数的极值与最值? 求函数极值的一般步骤: (1)确定定义域. (2)求导数f(x). (3)求f(x)=0的根. (4)列表. (5)判断. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤: (1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,从而确定函数的最值. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效 率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过 前面的学习,知道,导数是求函数最大(小)值的 有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的 优化问题. 1了解导数在实际问题中的应用. 2对给出的实际问题,如使利润最大、效率最高、用 料最省等问题,体会导数在解决实际问题中的作用. 3利用导数知识解决实际中的最优化问题.(重点) 4将实际问题转化为数学问题,建立函数模型.(难点 ) 探究点1 海报版面尺寸的设计 【例1】学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要 求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两 边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面 积最小? 分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心的 高,求出版心的宽,从而 列出海报四周的面积来? 因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最 小值点.所以,当版心高为16dm,宽为8dm时 ,能使四周空白面积最小. 你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行吗? 解法二:由解法一得 2在实际应用题目中,若函数f(x)在定义域内只有 一个极值点x0 ,则不需与端点比较,f(x0)即是所求 的最大值或最小值. 1设出变量找出函数关系式;确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 【提升总结】 用长为长为 90cm,宽为宽为 48cm的长长方形铁铁皮做一个无盖的 容器,先在四个角分别别截去一个小正方形,然后把四 边边翻转转90,再焊焊接而成(如图图),问该问该 容器的高为为多 少时时,容器的容积积最大?最大容积积是多少? 【即时训练】 解答:设设容器的高为为xcm,容器的容积为积为 V(x)cm3, 则则V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320 x(0x24). V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360) =12(x-10)(x-36)(0x24). 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去). 【解题题关键键】 直接列出体积积关于高的函数解析式,再利用导导数求解. 当0x0,V(x)是增函数; 当10x24时时,V(x)0,V(x)是减函数. 因此,在定义义域(0,24)内,只有当x=10时时函数V(x)取得 最大值值,其最大值为值为 V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3), 故当容器的高为为10cm时时,容器的容积积最大,最大容积积 是19 600cm3. 【规律总结】 与面积、容(体)积有关最值问题的解决策略 解决面积、容积(体积)的最值问题,要正确引入 变量,将面积或容积(体积)表示为变量的函数,结 合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 规格(L)0.61.252 价格(元)2.54.55.1 探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 【例2】下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品, 若它们的价格如下表所示,则 (1)对对消费费者而言,选择选择 哪一种更合算呢? (2)对对制造商而言,哪一种的利润润更大? 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶 子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单 位:cm,已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分 ,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm, 问题: ()瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ()瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为 r(0,2)2(2,6 f (r)0 f (r) - + 减函数 增函数 -1.07p 当r2时,f(r)0,它表示f(r)单 调递增,即半径越大,利润越高; 2 3 从图中,你 还能看出什 么吗? 当0r3时,利润为负值;当r3时,利润为零; 当r3时,利润为正值,并随着瓶子半径的增大利 润也相应增大. 【规律总结】求解利润润最大问题问题 的两个注意点 (1)注意定义义域:在求解利润润最大问题时问题时 ,一定要注 意所列函数的定义义域.并且能够够正确列出函数的解 析式,这这是求解利润润最大问题问题 的前提. (2)实际联实际联 系:在求解利润润最大问题时问题时 ,一定要注意 所得的结结果是否和现实现实 情况相符合,因此,在求得结结 果之后,要进进行检验检验 . 已知某厂每天生产x件产品的总成本为 若受到产能影响,该厂每天至多只能生产800件产品, 则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢? 解析:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 【即时训练】 因为函数在(0,1000)上是减函数 又因为0x6 000时时,f(x)0, 所以,当x=6 000时时,利润润最大. 答案:6 000 解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的统计 数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函 数的性质,提出优化方案,使问题得到解决在这个 过程中,导数往往是一个有利的工具,其基本思路如 以下流程图所示: 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 建立数学模型 解决数学 模型 作答 1函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值值, 则则 ( ) A0b1 Bb0 Db A 2.已知圆柱的表面积为定值S,求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h的值 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h, 则S圆柱底2r2,S圆柱侧2rh, D 答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润 为315万元 点评建立数学模型后,注意找准函数的定义域, 这是此类题解答过程中极易出错的地方 5.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的 正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的 方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大 ?最大容积是多少? 解:设箱高为xcm,则箱底边长为(602x)cm,则得 箱子容积V是x的函数, V(x)(602x)2x(0x30) 4x3240 x23 600 x. 所以V(x)12x2480 x3 600, 令V(x)0,得x10或x30(舍去). 当0x0, 当10x30时,V(x)0. 所以当x10时,V(x)取极大值,这个极大值就是 V(x)的最大值V(10)16 000(cm3) 答:当箱子的高为10cm,底面边长为40cm时, 箱子的体积最大,最大容积为16 000cm3. 点评在解决实际应用问题中,如果函数在 区间内只有一个极值点,那么只需根据实际意义 判定是最大值还是最小值,不必再与端点的函数 值进行比较 1.解决优化问题的基本思路: 优化问题用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2导数在实际生活中的应用方向:主要是 解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要 有以下几个方面: (1)与几何有关的最值问题. (2)与物理学有关的最值问题. (3)与利润及其成本有关的最值问题. (4)效率最值问题. 3解决优化问题的方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系, 建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过 创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是 建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质, 提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中, 导数是一个有力的工具.
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