2.2.3向量数乘运算及其几何意义 如何求作两个非零向量的和向量？ 首尾相接首尾连 O A B 如何求作两个非零向量的差向量？ 首同尾连指被减 O A B 问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ， 那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位 移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向 上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎 样表示？是 吗? 请同学们自己思考. 作匀速直线运动的飞机位移与速度 的关系是 吗？ 带着上面的问题，我们进入本节课的学习！ 1.掌握向量的数乘运算及几何意义. 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算. 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向 量共线的向量，能判断两个向量共线. 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想 （重点） （重点、难点） 思考1：已知非零向量 ，如何求作向量 和（ ）（ ） （ ）？ O ABC O MNP 探究一：向量数乘的定义 （ ）（ ）（ ） 提示: 思考2：向量 和(- )+(- )+(- )分 别如何简化其表示形式？ 思考3：向量3 和3 与向量 的大小和方向有 什么关系？ O ABC O MNP 记为3 ， （ ）（ ）（ ）记为3 . 提示: 思考4：设 为非零向量，那么 还是向 量吗？它们分别与向量 有什么关系？ 提示: （1）| |=| |； （2）0时, 与 方向相同； 0时, 与 方向相反； =0时, = . 思考5：一般地，我们规定实数与向量 的积是一 个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 ，该向 量的长度及方向与向量 有什么关系？ 提示: 如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点， 那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ A B C D M 解答: 【即时训练】 探究二：向量数乘的运算律及共线向量基本定理 思考1：你认为2（5 ），2 2 ， 可分别转化为什么运算？ -2 (5 )= -10 ； 2 2 = 2( + )； (3 ) =3 提示: 思考2：一般地，设，为实数，则( )， () ，( )分别等于什么？ = 提示: 提示: A B C D E 提示: 提升总结： 思考3：对于向量 （ ）和 ，若存在实数，使 = ，则向量 与 的方向有什么关系？ 思考4：若向量 （ ）与 共线，则一定存在实数 ，使 = 成立吗？ 思考5：综上可得向量共线定理：向量 （ ）与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 = . 若 ，上述定理成立吗？ 提示：共线 提示：一定存在 提示：不成立 思考6：若存在实数，使 ，则A，B，C三 点的位置关系如何？ A，B，C三点共线 提示: 思考7：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线 性运算，对于任意向量 ， ，以及任意实数， x，y，(x y ）可转化为什么运算？ (x y ）=x y . 提示: ABP O 如图，若P为AB的中点，则 与 ， 的关系如 何？ 解答: 【即时训练】 例1.计算 （1）（3）4 ； （2）3（ ）2（ ） ； （3）（2 3 ）（3 2 ）. 向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. 计算： 【变式练习】 2 3 O 例2.如图，已知任意两个非零向量 试作 你能判断A，B，C三点之间的 位置关系吗？为什么？ A B C A，B，C三点共线线. 解：分别别作向量 ，过过点A，C作直线线AC.观观 察发现发现 ，不论论向量 怎样变样变 化，点B始终终在直线线AC 上，猜想A，B，C三点共线线. 事实实上，因为为 根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形 ABCD的形状，并给出证明. 简简析:（1）平行四边边形，一组对边组对边 平行且相等. （2）梯形，一组对边组对边 平行且不相等. （3）菱形，一组对边组对边 平行且相等，一组邻边组邻边 相等. 【变式练习】 例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且 = ， = ，你能用 , 表示 ， ， 和 吗？ M A B D C 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N 在线段BD上，且有BN= BD，求证：M，N，C三点共线. 提示：设设 ， 则则 【变式练习】 D B B 定义 运算律 数乘向量 应用