章集合与函数概念 填一填:互异性;描述法;属于;值域;解析法;偶函数. 0 专题一专题二专题三 专题一 集合的关系及运算 集合间的关系及运算是集合的核心,解决此类问题,应从元素入 手,弄清元素与集合、集合与集合之间的关系,对于含有参数的问 题经常进行等价转化,一般先化简集合,再利用数形结合来解决.运 算时特别注意对的讨论. 例1已知全集U=R,集合A=x|3x8,B=x|2a,AC,求a的取值范围. 分析:(1)利用交集、并集、补集的定义求解相应问题. (2)借助数轴求a的取值范围. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 专题一专题二三专题三 专题二 函数图象的作法及应用 1.由函数的图象知,点的集合(x,y)|y=f(x),xA就是函数的图象, 其中A为f(x)的定义域.因此,从理论上讲,用列表、描点法就能作出 函数的图象,但是如果不了解函数本身的特点,那么就无法了解函 数图象的特点.如二次函数的图象是抛物线,如果不知道抛物线的 顶点坐标和与x轴、y轴的交点坐标,盲目地列表、描点、作图,那么 很难将图象特点描绘出来. 2.画函数图象,除了运用描点法外,还常常用到平移、对称变换, 从而简化图象的画法. 3.函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题有直观、 明了、易懂的优点,利用函数图象解决有关函数问题是一类常见的 重要题型和方法,也是近几年高考几乎必考的内容之一. 专题一专题二三专题三 例2已知函数f(x)=x|x-2|. (1)在给出的平面直角坐标系中作出y=f(x)的图象,并写出f(x)的单 调区间; (2)若集合x|f(x)=a恰有三个元素,求实数a的取值范围. 专题一专题二三专题三 分析:(1)根据函数f(x)的解析式,作出f(x)的图象,由图象写出函数 f(x)的单调区间; (2)由题意可得y=f(x)的图象和直线y=a有3个交点,观察图象可得 实数a的取值范围. 解:(1)根据函数f(x)=x|x-2|= 可得f(x)的图象如图 所示. 由图象可得,函数的单调递增区间为(-,1及(2,+),单调递减区 间为(1,2. 专题一专题二三专题三 (2)集合x|f(x)=a恰有三个元素,即y=f(x)的图象和直线y=a有3个 交点, 由图象知,a的取值范围是0a1. 专题一专题二三专题三 专题一专题二三专题三 专题一专题二专题三 专题三 函数的单调性与奇偶性及其应用 1.函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,二者相辅相成, 如果能把二者有效地结合起来使用,那么很多问题就变得简单明了 .函数的单调性反映了函数(图象)的增减变化,而函数的奇偶性反映 了函数(图象)的对称性. 2.奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在对称 的两个区间上具有相反的单调性. 专题一专题二专题三 例3已知函数f(x)= ,且f(1)=2. (1)证明函数f(x)在定义域内是奇函数; (2)证明f(x)在区间2,+)上是增函数; (3)求函数f(x)在区间3,5上的最大值与最小值. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 变式训练3 已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR. (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若 a ,求f(x)的最小值. 解:(1)当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a), 此时,f(x)既不是奇函数又不是偶函数. 专题一专题二专题三 考点一考点二考点三 考点一:集合的概念及运算 1.(2015课标全国高考)已知集合 A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中元素的个数为 ( ) A.5B.4C.3D.2 解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8; 当n=4时,3n+2=14. 所以AB=8,14. 故选D. 答案:D 考点一考点二考点三 2.(2014课标全国高考)已知集合M=x|-1x3,N=x|-2x1, 则MN=( ) A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3)D.(-2,3) 解析:由已知得MN=x|-10可化为f(|x-1|)f(2). 又f(x)在0,+)上单调递减, |x-1|2,解得-2x-12,即-1x3. 答案:(-1,3)