第十一章 量子跃迁 1、量子态随时间的演化 量子态问题的分类 哈密顿量不含时的体系 2、量子跃迁几率，含时微 扰论 量子跃迁 含时微扰论 3、量子跃迁理论与不含时 微扰论的关系 不含时微扰论的分类 常微扰 4、能量时间测不准关系 能量时间测不准关系的 引入 普遍情形 5、光的吸收和辐射的半经 典处理 光的吸收与受激辐射 自发辐射的爱因斯坦理论 内容提要 11.1 量子态随时间的演化 1、量子态问题的分类 (1) 体系可能状态 力学量本征态与本征值问题 量子力学基本假定之一：力学量的观测值与力学 量相应算符的本征值对应。 例如，能量本征态和本征值问题，假设哈密顿量 不显含时间 t， (1)能量本征方程 (2)但能级往往有简并，必须找到一组含哈密顿量 在内的力学量完全集，得到共同本征态，用一组 量子数才能标记清楚简并的各态。 (2) 体系的状态随时间的演化问题 量子力学基本假定之二就是，体系状态随时间的 演化遵守含时的薛定谔方程，即 2、哈密顿量不含时的体系 若 H/ t = 0，则体系能量为守恒量，此时， (t) 可写为 其中，U(t)为时间演化算符，U(t) = exp(-iHt/) 在能量表象中，体系任何初始态 (0) 均可用能量 本征态 n 展开，即 其中 注意：n 是含 H 在内的一组力学量完全集的共 同本征态，n 代表一组完备的量子数。 将 t 时刻的态记为 (t)，显然有 特例：如果体系一开始的初态就是某个本征态 k，相应的能量本征值是 Ek ，则 an = nk。便有 即体系以后将保持原来的能量本征态，为定态。 相反，如果体系初态就不处于某一个能量本征态 ，则以后也不会处于该本征态，而是很多本征态 的叠加。 3、例题： 设一个定域电子处于沿 x 方向的均匀磁场 B 中(忽 略电子的轨道运动)，电子内禀磁矩与外磁场的作 用为 设初始时刻，电子自旋态为 sz 的本征态 sz = /2， 即 , 求 t 时刻的电子自旋 (t)？ 解：从哈密顿量分析可知，现在的体系能量本征 态为 x 的本征态， 记为 ， 则 电子的初态为 则 所 以 11.2 量子跃迁几率，含时微扰论 1、量子跃迁 (Quantum transition) 实际上，关注的重点在于：当体系在某种外界作 用下，体系在定态之间的跃迁几率。 体系初态为 当外界作用 H(t) 加上后，哈密顿量变为 设无外界作用时，体系哈密顿量不显含时间，记 为 H0，F 为一组含 H0 在内的力学量完全集，共 同本征态记为 n，n 为一组完备的量子数。 体系受 H 作用后， F 中所有力学量不再都还是 守恒量，体系不再保持在原来的本征态，而变为 F 所有本征态的叠加， 在 t 时刻测量 F，得到 Fn 的测值几率为 也可理解为从初态 k 跃迁到 n 态的跃迁几率。 跃迁速率(Transition rate) 单位时间内的跃迁几率 即，给定初始条件 如何求解 Cnk(t) ? 注意： 令人感兴趣的量子跃迁是初态和末态的不同态之间 的跃迁。但由于能级一般有简并，所以量子跃迁不 一定意味着末态能量与初态能量不同，如完全弹性 散射，初态和末态波函数不同，但能量却相同。 跃迁速率方程 上式两边左乘 k*，积分得 其中 2、含时微扰论 分析：对于一般的 H(t) 矩阵元 Hkn 很 难计算。但如果 H 很微弱( H H0)，可以想见 ， |Cnk(t)|2 将随时间缓慢变化，体系仍有很大的几 率处于原本的初态，即 |Cnk(t)|2 态的 跃迁几率。 解：从 |0 跃迁到 |n 态跃迁 所以跃迁只发生在 |0 到 |1即第一激发态之间 讨论： 如果 ，微扰无限缓慢的被引入，则 可见，粒子仍然保持在基态，不跃迁 2、突发微扰 (sudden perturbation)： 设体系受到了一个有限的突发微扰作用 解：按照薛定谔方程， H t 可见，有限的突发微扰并不改变体系的状态，即 末态与初态相等。 注意：有限突发微扰的时间 远远小于体系的特征 时间。 例如 衰变，原子核 (Z, N) (Z+1, N-1)。原子 释放一个电子(电子速度接近光速)，持续时间为 T a/Zc, a 为玻尔半径。原子中1s 轨道电子运动的 特征时间 (a/Z)/Zc ( = 137, 精细结构常数)。 T (设原子序数 Z 远小于 137) 衰变前原子中 1s 电子状态来不及改变，仍维持原 本的状态。 但原子核电荷已经改变，原本的状态不能维持为 新原子的能量本征态，特别是，不能维持为新原 子的 1s 态。 试问，原本的 1s 轨道的电子有多大的几率处于新 原子的 1s 态？ 对于 1s 轨道( K 壳层)电子，其波函数为 按照波函数统计诠释，测得此 K 电子处于新原子 的 1s 态的几率为