结构力学-1学习笔记四 主主 题题： 结构力学-1学习笔记 学习时间学习时间：整学期 结构力学-1学习笔记四 结构力学-1学习笔记四 虚功原理和结构位移的计算 虚功原理和结构位移的计算 教学内容：教学内容： 一、结构位移，广义位移。位移产生的原因。位移计算的目的。实功与虚功 的概念。 二、虚功原理。虚功方程的应用。 三、荷载作用下结构的位移计算。 四、图乘法及其应用。 五、静定结构温度变化时的位移计算。静定结构支座移动时的位移计算。 六、线弹性结构的互等定理。习题课。 难点：虚功原理；复杂图形的图乘；静定结构温度变化时的位移计算。 。 重点：虚功方程的应用。结构位移计算的一般公式；荷载作用下静定结构的 位移计算；温度变化时及支座移动时静定结构的位移计算方法。 。 要求：理解变形体系虚功原理的内容及其应用；针对不同结构选取相应的位 移计算公式计算结构的位移；掌握静定结构在温度变化、支座移动影响下的位移 计算方法，了解互等定理。 教学目的要求：教学目的要求： 1、掌握：结构位移，广义位移。位移产生的原因。位移计算的目的；熟练 掌握在荷载作用下静定结构的位移计算方法； 温度变化时及支座移动时静定结构 的位移计算方法。 2、熟悉：实功与虚功的概念。虚功原理。虚功方程的应用；图乘法及其应 用；图乘法及位移计算公式的应用。 3、了解：理解变形体系虚功原理的内容及其应用；剪切变形修正系数 k 的 推导；线弹性结构的互等定理。 5.1 概述概述 一、结构的位移一、结构的位移 变形：变形：结构在荷载作用下产生应力和应变，因而将发生尺寸和形状的改变， 这种改变称为变形。 位移：位移：由于变形使得结构上各点的位置产生移动，亦即产生了位移。 结构力学-1学习笔记四 图 1 图 1 所示桁架在荷载 P 作用下，杆件产生轴力，因而引起杆件长度的改变， 致使结构产生了移动。 除了荷载引起位移外，温度改变、支座移动、材料收缩和制造误差等因素， 虽不一定使结构都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。 位移有相对位移和绝对位移之分。 各种位移无论是线位移还是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，都统称 为广义位移。 二、计算结构位移的目的二、计算结构位移的目的 1. 验算结构的刚度 2. 为超静定结构计算打下基础 三、计算位移的有关假定三、计算位移的有关假定 1）结构的材料服从虎克定律，即应力与应变成线性关系。 2）结构的变形很小，不致影响荷载的作用。 3）结构各部分间为理想联结，不考虑摩擦阻力等影响。 4）当一直杆在杆端承受轴向力并因同时有横向力的作用而弯曲时，不考虑 由于杆弯曲所引起的杆端轴向力对弯矩及弯曲变形等的影响。 （分析稳定问题时 除外） 满足上述条件的理想化的体系，其位移与荷载之间为线性关系，常称为线性 变形体。对于这种体系，其位移计算时可应用叠加原理。 5-2 虚功原理虚功原理 一般说来，力所作的功与其作用点的移动路线形状，路程的长短有关，但对 于大小和方向都是不变的常力，它所作的功则只与其作用点的起始位置有关。 一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功 1.功功 设一物体受外力 P 作用后产生位移。力由于位移而作功。 TdTP cos(P,d s )ds ss = 式中代表力 P 与作用点位移方向的夹角，ds 代表位移微段。 若体系上作用一常力 P， 力作用点的总位移为 D， 而 D 与力 P 之间的夹角为 ，力 P 所作的功为： TPDcos=, 2实功实功 力与位移之间存在直接的依赖关系，力由于其自身所引起的位移而作功，这 种功称为实功，如图 2 所示。 结构力学-1学习笔记四 图 2 承受荷载 P 的悬臂梁 取静力加载方式，即荷载从零逐渐增加到 P 值。对于线性变形体来说，位移 与荷载成正比，故力 P 作用点的位移也将由零按比例逐渐增加到最后值。 当时，。 y PP=,y = 在其中任一位置处，位移与相应的荷载之间的关系为 ： y P y yfP=，f 为比例常数。 fP =；f P =； y yyP P f = 当荷载由增加到 y P y PdP+，相应的位移为，略去高阶微量，在 发生dy的过程中可以看成常量，于是相应的元功为： ydy+ y P y 00 yP dTPdydTdy P1 TdTydyP 2 = = 3. 虚功：位移与作功的力无关虚功：位移与作功的力无关 在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，其中力所属 的状态称为力状态或第一状态，而位移所属的状态则为位移状态或第二状态。 图 3 虚功中两种彼此无关的状态 二、变形杆件体系的虚功原理二、变形杆件体系的虚功原理 1.体系的力状态和位移状态应该满足的条件体系的力状态和位移状态应该满足的条件 悬壁梁一端固定，另一端自由，在固定端截面处，位移为已知值，此种边界 称为位移边界，自由端截面上的力是已知值，此种边界称为力的边界。因此悬臂 梁同时拥有力的边界和位移的边界，因此悬臂梁具有一定的典型意义。图 4（a） 所示为一 A 端为固定端的先妣杆件，其上作用有横向分布荷载、轴向分布q(s) 结构力学-1学习笔记四 荷载和分布外力偶，、为自由端面上的外力。在这些力 的作用下，杆件 AB 处于平衡状态，图 4（b）所示 AB 中一个微段的受力状况， 其上荷载及切割面上的理皆以图中所示方向为正。利用年平衡条件、 、可以得到以下三个平衡微分方程： p(s)m(s) * B N * B Q * B M s0 = Y0 =M0 = dN s0p(s) ds dQ Y0q(s) ds dM M0Qm(s) ds = = =+= （a） （b） 图 4 悬臂杆所受荷载及微段隔离图 自由端为力给定的边界，为了满足平衡，有以下力的边界条件，在 ls 处： * B * B * B N(L)N Q(L)Q M(L)M = = = 固定端为位移给定的边界，该处的未知杆端力可由平衡条件确定。上式即为力系 必须满足的静力平衡条件 图 5（a）所示同一杆件 AB 由于某种原因所产生的微小变形状态。设和v 分别表示杆轴上任一点 1 的轴向变形和横向位移，并以指向坐标轴的正向为正。 表示曲线在该点处的切线的倾角，并以顺时针方向为正，这样有 u dv ds = 由于剪切变形的影响，变形后的杆件的截面（假定仍保持为平面）不再垂直 于变形后的曲线，我们以表示 1 点截面的转角（ ） ，并设也以顺时针方 向为正。 在 1 点附近截取一长为的微段 12，这一微段在变形后移动 12。我们将ds 结构力学-1学习笔记四 总位移分解为刚体位移和变形位移，设想先以截面 1 为准，微段 12 发生刚体位 移u和还有；然后使微段产生轴向、剪切和弯曲变形，从而使截面 2 变形到 2。设以分别表示 1 点的轴向应变，剪切角和杆轴变形前后的曲率，则得 到以下关系式： v （a） 图（b） （c） 图 5 悬臂杆的变形状态 12 duds,dvdvdvdsds,dds=+=+= 此外在固定端处的位移边界条件为： * A * A * A u(0)u v(0)v (0) = = = 结构力学-1学习笔记四 2.虚外功和虚变形功的计算虚外功和虚变形功的计算 杆 AB 的虚外力虚功为： * BBB *B AAA T=N u(L)+Q v(L)+M (L)N(0)u Q(0)vM(0) +(pu+ qv+m)ds * A ds 杆件 AB 的虚变形功为： B A V(NQM ) =+ 3.虚功原理虚功原理 杆件 AB 处于一静力可能的力状态，设另一与其无关的几何可能的位移状 态，则前者的外力由于后者的位移所作的虚外功 T 等于前者的切割面内力由于 后者的变形所作的虚变形功 V。即虚功方程 T=V。 虚功方程： = * BBB *B AAA B A N u(L)Q v(L)M(L) N(0)u Q(0)vM(0)(pu qvm )ds(NQM )ds * A + + + 三、虚功原理的两种应用三、虚功原理的两种应用虚位移原理和虚力原理虚位移原理和虚力原理 1. 应用虚功原理求未知力应用虚功原理求未知力 虚位移原理虚位移原理 应用虚功原理求某一体系的未知力时， 以体系的实际的内外力状态作为力状 态，再根据所要求的未知力适当选择虚位移。 用于实际的力状态与虚位移状态之间的虚功原理称为虚位移原理。 由此建立 的虚功方程实质上描述了实际受力状态的平衡关系。 应用虚位移原理求未知力而 沿该力方向虚设一单位位移的方法，常称为“单位位移法”。 2. 应用虚功原理求位移应用虚功原理求位移 虚力原理虚力原理 应用虚功原理求某一体系的未知位移时， 即以体系的实际的位移状态作为虚 功原理的位移状态，再根据所要求的未知位移适当选择虚力。 用于虚设的力状态与实际位移状态之间的虚功原理称为虚力原理， 由此建立 的虚功方程实质上描述了各实际位移之间的几何关系。 53 平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法 一、计算位移的一般公式一、计算位移的一般公式 现拟用单位荷载法求刚架上某点K的实际位移KK沿某指定方向K的投 影。 为此取图6（a） 中的刚架的实际状态为虚力原理的位移状态 （第二状态） 。 然后选取一个与 K ka ka 相应的单位荷载，即在沿KK方向加虚单位力，如 图6（b）所示，并取这个虚拟状态作为虚力原理的力状态（第一状态） 。 K P =1 根据以上两种状态，建立虚功方程： KaKaKa K aK a a K 1RCR NdsQd Mds C s + =+ + 或者 结构力学-1学习笔记四 KaK aK a aK K NdsQd MdsR C =+ + a s （6） （a） （b） 图6 用单位荷载法计算位移的两种状态 式中、分别表示实际状态的轴向应变、剪切角和曲率； a a a K R、 K N、 K Q、 K M分别为虚拟状态的反力、轴力、剪切和弯矩。上式就是计算结构位移的一般 公式。 式（6）可以用于计算静定或超静定平面杆件结构由于荷载、温度变化和支 座沉陷等因素的作用所产生的位移，并且适用于弹性或非弹性材料的结构。 应用式（6） ，每次可以计算一个位移分量，所加的虚单位力其指向可以任意 假设。 如果计算结果为正值， 即表示位移的实际指向与所设虚单位力的指向相同， 否则相反。 式（6）不仅可以用于计算结构的线位移，而且还可以计算任一广义位移， 只要虚力状态中的单位力是与所计算的广义位移相对应的广义力即可。 二、单位力的施加二、单位力的施加 施加单位力应遵循“欲求某点在某一方向的位移，就应在该点沿该方向加单 位力”的原则，而且所加的单位力与所拟求的位移应有广义力与广义位移的对应 关系。 结构力学-1学习笔记四 54 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 由于只考虑荷载作用，我们设结构的支座位移Ca为零，故式（6）称为： KaK aK a a K NdsQd Mds =+ + s (a) 又因为不考虑温度变化，故上式中微段变形只决定与荷载所产生的内力。现 以NP、QP、MP分别表示轴力，剪力和弯矩，按材料力学中的公式，有： PP aaa NQ k EAGAEI = P M (b) 式中EA、GA和EI分别为杆件的拉伸刚度、剪切刚度和弯曲刚度。 而 2 22A As kd b =A 为考虑剪应力实际上沿杆件截面并非均匀分布而引用的修正系数。 其值与截 面的形状有关。 对矩形截面：k1