第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 夹软弱土层的层状场地对入射 P-SV 波的响应分析 夹软弱土层的层状场地对入射 P-SV 波的响应分析 薛松涛 1,2，柯朝辉1，陈镕1，王远功1 (1 同济大学结构工程与防灾研究所, 上海 200092; 2 日本近畿大学理工学部建筑学科, 日本大阪 577-8502) 摘摘 要：要：文中采用横观各向同性（以下简称 TI）层状弹性体模型模拟半空间之上的层状场地，运用薄层元素 法计算层状自由场地对入射 P-SV 波的动力响应， 首先将偏振角引入 TI 介质层单元及半空间刚度矩阵中，并 完成了理论公式的推导。 以此计算了夹有软弱土层的 TI 层状场地对入射 P-SV 波的动力响应， 计算结果表明， 软弱土夹层场地与一般场地的动力响应特性有区别。一般说来，软弱夹层的性质，厚度和埋置深度对场地的 动力响应都有不同的影响，这些已在文中作出了详细说明。 关键词：关键词：横观各向同性；P-SV 波；软弱夹层；薄层元素法；响应 The Response Analysis of Strata with Soft Soil Layer to Incident Plane P-SV Waves XUE Song-Tao1,2, Ke Zhao-hui1, CHEN Rong1 and WANG Yuan-Gong1 (1. Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction, Tongji University, Shanghai, 200092, China 2. Department of Architecture, School of Science and Engineering, Kinki University, Osaka, Japan ) Abstract：Since the horizontal elastic moduli are often different from the vertical ones, a model of transversely isotropic stratified media, which takes into account the polarization angles, is used to simulate the soil ground situated on a half space. The dynamic response of soils to incident plane P-SV waves are studied using thin layer element method, and then the dynamic stiffness matrix of the media and the formula of their response to P-SV waves are derived. The results show that there are differences between the response of strata with soft soil layer and normal strata. In general, the character, the thickness and the deepness buried of the soft Soil Layer have vital influence on the response of strata. These had been proved. Keywords: Transversely isotropic; P-SV waves; Strata with soft soil layer; Thin layer element method; Response 1 引引 言言 在一些有关场地地震响应分析的论著中指出软弱夹层对自由场地的影响较大，不能忽略不计。 周根寿等对场地土中软弱夹层对地面地震反应的影响进行了较全面深入地研究，得出了一些有用的 作者简介：薛松涛（1963） ，江苏涟水人，教授，博导，工学博士 1 结果，但迄今为止， 在进行场地分析时，绝大多数作者均将自由场假设成水平层状各向同性弹性体 或粘弹性体。然而，有些专著已指出：天然沉积形成的水平层状地基，其水平向的变形模量常常大 于竖向变形模量，这即表明：采用各向同性层状模拟沉积层状地基与实际情形不符，而采用横观各 向同性层状模型较接近实际情形。丁皓江等在他们的专著中亦提到了这一点。但是，迄今为止，还 很少有人研究横观各向同性层状场地的地震响应。基于此，作者采用横观各向同性层状模型模拟场 地土，对夹有软弱土层的层状场地的地震响应进行分析。本文只讨论在基岩入射 P-SV 波时其上卧横 观各向同性层状场地的响应。 2 基本方程基本方程 当体系产生简谐运动时,用位移表示的横观各向同性弹性体的运动平衡微分方程为: = + + + + zx W cc yx V ccU z c y c x c 2 4413 2 6612 2 2 44 2 2 66 2 2 11 )()()(U 2 V zy W ccV z c y c x c yx U cc 2 2 4413 2 2 44 2 2 11 2 2 66 2 6612 )()()(= + + + + + （1） WW z c yx c y V x U z cc 2 2 2 33 2 2 2 2 444413 )()()(= + + + + + 式中，U、V、W 为u、谐振时的幅值，vw为振动频率。 11 11 )21 ()1)(1 ( += vhhvhhvhhvh Ec 11 12 )21 ()1)( += vhhvhhvhhvhh Ec 1 13 )21 ( = vhhvhvhh Ec 1 33 )21)(1 ( = vhhvhhv Ec v Gc= 44 2 1 121166 )1 ( += hh Eccc 3 横观各向同性层状场地的动力刚度矩阵横观各向同性层状场地的动力刚度矩阵 3.1 透射角与反射角透射角与反射角 当相邻土层材料性质不同时， P 波、 SV 波会在界面上产生反射、 透射， 而且还将产生波型转换。 P 波经反射后不仅产生 P 波，还将产生 SV 波；同样，SV 波反射后也会产生 P 波。入射角、反射角以 及透射角必须满足 Snell 定律，以 P 波入射为例(图 1) SV i SV SV i SV P i P P i P P i P vvvvv sinsinsinsinsin 11 = (2) 2 但 TI 介质中波速与入射角有关，因此不能由(2)式直接得到反射角、透射角与入射角的解析关 系，可以通过数值方法计算反射角、透射角。 x z 入射 P 波 P SV P P SV o 土层i 土层1i 图 1 P 波在界面处的反射、透射 Fig.1 Reflection and transmission of P waves on the boundary 3.2 单元动力刚度矩阵单元动力刚度矩阵 在厚度为的土层中，P 波、SV 波分别以h P 、 SV 入射。为了使土层上下端面的边界条件保持 一致，保持单元边界的协调性，入射角 P 、 SV 必须满足 Snell 定律 v vv SV SV P P = sinsin (3) 这是推导单元刚度矩阵所必须的条件。 可将土层中的位移写成如下的形式 ()() ()( tiikxiknz SV iknz SVSV tiikxikmz P ikmz PP tiikxiknz SV iknz SVSV tiikxikmz P ikmz PP eeeBeAeeeBeAw eeeBeAeeeBeAu += += coscos sinsin ) (4) 其中，、分别表示土层中入射、反射 P 波的振幅，、分别表示土层中入射、 反射 SV 波的振幅。m P A P B SV A SV B P cot=， SV ncot=，为了简便，(4)式可以先不计时间项。利用 =kvvkvk SVSVPP 及(3)式，已知位移，便可计算应力: b xz x z i h t xz b z t z t R b R b Q t Q x o o 土层 1 土层 2 土层 n-1 入射 SV 波 入射 P 波 半空间 z 图 3 TI 层状场地 图 2 薄层单元 Fig.2 Thin element Fig.3 TI layered strata 3 ()() ()() ()() ()() ikxiknz SV iknz SVSVSVSV ikxikmz P ikmz PPPP z ikxiknz SV iknz SVSVSVSV ikxikmz P ikmz PPPP xz eeBeAccik eeBeAccik z w c x u c eeBeAikc eeBeAikc x w z u c + += + = + += + = cotcossin cotcossin cotsincos coscotsin 3313 3313 3313 44 44 44 (5) 由于薄层元素法(图 3)是在垂直方向上离散，在水平方向上保持连续，因此在接下来的薄层单 元刚度矩阵的推导过程中， 可以略去x的有关项。 设薄层上表面位于0=z平面内， 下表面位于hz = 平面内，将它们表示为幅值、和的函数。由位移公式(4)式及应力公式(5)式，可 分别得到底面、顶面的位移、应力公式。为了能够将单元刚度矩阵组合成整体刚度矩阵，用上下表 面的外力取代应力(图 2)，它们之间的关系如下 P A SV A P B SV B t zt R=， (6) t xzt Q= b zb R= b xzb Q= 下标t、b分别表示顶面、 底面。 为了得到对称的刚度矩阵， 仅对及wR前分别乘以i() 1 2 =i 将位移、外力表示为矩阵形式: = SV SV P P ikhn SV ikhn SV ikhm P ikhm P ikhn SV ikhn SV ikhm P ikhm P SVSVPP SVSVPP b b t t B A B A eieieiei eeee iiii iw u iw u coscoscoscos sinsinsinsin coscoscoscos sinsinsinsin (7)