第4章 函数逼近的插值法 与曲线拟和法 引言 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量 关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只能 给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计 算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表 、对数表、平方根表、立方根表等等。 引言 4.1 Lagrange插值法 Lagrange插值法 构造插值基函数 引理1 设在区间a,b上有n+1个互异节点 ， 如果n次多项式 满足 则 构造插值函数Ln(x) 计算机上算法实现 上式在计算机上实现容易： Lagrange插值算法 误差估计 由Rolle定理知： 的相邻两个零点 之间至少存在一个零点，即 在（a,b）内 至少有n+1个互异零点。 同理对 应用Rolle定理知： 在（a,b） 内至少有n个互异零点，如此反复应用Rolle定 理n+1次知： 在（a,b）内至少有一个零 点 。 特例 例题 n抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。 （3）相应的误差估计： 关于Langrange插值的几点说明 n 仅与已知数据 有 关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。 n若 本身是一个不超过n次多项式，则 n从 角度观察，内插误差要小些，即 。而外插有可能误差变大 ，因此要慎用。 nLangrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原 来求的 全改变，也就是原来的数据不能 利用，浪费资源； 差商的性质 差商的性质