3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1) (2) 解： （1） 因为= , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序 列， 周期T=14。 （2） 因为= , 所以 =16, 这是无理数， 因此是非周期序列。 第一章 6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说 明理由。 （1） y(n)= x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n) 解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的 输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果 系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设 n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 （4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则 |y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示 ， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm) 题7图 y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5) 将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列 ， 画出x(n)和 的波 形， 求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。 解： 画出x(n)和 的波形如题4解图所示。 4设 第二章 题4解图 或者 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出 其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求 出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1 因此 零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示。 (2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令 输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单 位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 式中 题23解 图 ， 令 n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2 因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故 (3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即 |z2|z|z1|, n0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成 求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么 最后得到 15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； （2） 求X1(k)=DFTx1(n)8； （3） ，求 。 第三章 解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即 X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为 X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质， (3) 18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最 高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间 Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽 度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半） 的N值。 解: （1） 已知F=50 Hz， 因而 （2） （3） （4） 频带宽 度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩 大1倍 ， 即为0.04 s， 实现频 率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。 19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用 FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间 Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。 解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为 x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm) 所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率 fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频 AM调制信号应满足 100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故 (1) (2) (3) 22 证明DFT的频域循环卷积定理。 证： DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n) H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTX(n)L 则 L X(k) 其中， LmaxN， M。 根据DFT的惟一性， 只要证明ym(n)=IDFTYm(k)=h(n)x(n)， 就证明了 DFT的频域循环卷积定理。 第五章 1. 已知系统用下面差分方程描述: 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示 系统的输入和输出信号。 解： 将原式移项得 将上式进行Z变换， 得到 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一 ）所示。 题1解图（一） (2) 将H(z)的分母进行因式分解： 按照上式可以有两种级联型结构: 画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 题1解图（二） (3) 将H(z)进行部分分式展开： 根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。 题1解图（三） 9. 已知FIR滤波器的系统函数为 试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。 解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所 示。 题9解图 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1) (2) 式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字 滤波器H(z)。 解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的Ha(s )的脉冲响应不变法转换公式。 设采样周期为T。 (1) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以 套用教材（6.3.4）式， 得到 按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以 将H(z)的两项通分并化简整理， 可得 这样， 如果遇到将 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对 应结构图中无复数乘法器， 便于工程实际中实现。 (2) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开： 套用教材（6.3.4）式， 得到 通分并化简整理， 得到 5 已知模拟滤波器的系统函数如下： (1) (2) 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解: . 用脉冲响应不变法 (1) 方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为 将T=2代入上式， 得 方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式， 先对Ha(s)的分母 配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： c为一常数 由于 所以 对比可知， ， 套用公式， 得 (2) 或通分合并两项得 用双线性变换法 （1） (2)