河南大学 硕士学位论文 用有限和表示正整数分拆个数基本公式的研究 姓名：屈明星 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：王天泽 2011-05 3p, u (, ) p(n) , p(n,k) , p(n,k,l) , p(n) L n ?1 ; p(n,k) L n k ; p(n,k,l) L n k , l . A?1 y . ?ky O . p(n) = X d|n d X k=1 dk+1 X i0=dd ke i0 X i1=ddi0 k1 e i1 X i2=ddi0i1 k2 e . ik4 X ik3=d di0i1i2.ik4 3 e X c|(d,i0,i1,i2.ik3) (c) (bik3 c c bd di0i1i2.ik3 2 e 1 c c). ?n: 1: 0 u?, 9 )uG, 3nSAL5. 1: k , P. y(I, u ny. 1n: y (, ? p(n) kL. c: , , , k. I ABSTRACT In this paper, we will give various exact formulas on integer partitions. Including the function of p(n) , p(n,k) and the function of p(n,k,l) . The function of p(n) is the number of partitions of n , the function of p(n,k) is the number of partitions of n into exactly k parts, and the function of p(n,k,l) is the number of partitions of n into exactly k parts the biggest of which is l. In this paper, we give the exact proof to the elementary formulas for integer partitions. Finally, we obtain the elementary formulas of p(n) , that is p(n) = X d|n d X k=1 dk+1 X i0=dd ke i0 X i1=ddi0 k1 e i1 X i2=ddi0i1 k2 e . ik4 X ik3=d di0i1i2.ik4 3 e X c|(d,i0,i1,i2.ik3) (c) (bik3 c c bd di0i1i2.ik3 2 e 1 c c). The thesis is divided into three chapters: Chapter 1, we introduce the development of the Number Theory, and explain the importance of integer partitions in theory and practice. Chapter 2, We give some symbols, defi nitions. In order to prove the main result, we give the various exact elementary formulas, lemmas, and the exact proof. Chapter 3, we prove the main result of this thesis with the method of fi nite sum. Finally, we obtain the elementary formulas of p(n). KEY WORDSInteger partitions, Elementary formulas, The number of partitions, Finite sum. III 1. P L 2. Q L 3. gcd(A) = 1L8 A ?u1 4. gcd(A,m) = 1L8A? m u1 5. k,l,m,n,L. 6. bxcLL x 7. dxeLuu x ? 8. (n)LM obius 9. p(n)L n 10. P d|n L n k 11. d | mL d U m 12. P d|n(d) = ? 0,en1 1,en=1 V 关于学位论文独创声明和学术诚信承诺 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 在此本人郑重承诺：所呈交的学位论文不存在舞弊作伪行为，文责自负。 学位申请人（学位论文作者）签名： 201 年 月 日 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文（纸质文 本和电子文本）以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文（纸质文本和电子文本） 。 （涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书） 学位获得者（学位论文作者）签名： 201 年 月 日 学位论文指导教师签名： 201 年 月 日 1X 1.1uV u, ? 6. Xau, | 3F. 3+p, / NX. duy) );(3, kX2A. , 85, IS? /, 55a. glaO Km, (e ). ?5, E, duOI, q A. X, qu y, 3S, Qkqk, 3U, K, uk Vg. 2?z, u yy, 3? , eyL. y (1) (i) p(n)(n) = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n,n1,n2,n3,.nk)=1 1. p(n) = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n1,n2,n3,.nk)=1 1. e5ygcd(n1,n2,n3,.nk) = 1 gcd(n,n1,n2,n3,.nk) = 1 . ky5 () ? gcd(n,n1,n2,n3,.nk= 1) ,yy.b gcd(n1,n2,n3,.nk) 6= 1 , gcd(n1,n2,n3,.nk) = d 6= 1 , K n = n1+ n2+ n3+ . + nk= (n01+ n02+ n03+ . + n0k)d, o gcd(n,n1,n2,n3,.nk) = d 6= 1 , gcd(n,n1,n2,n3,.nk) = 1 g. l 5 y. 7 kL 2y75 (=) ? gcd(n1,n2,n3,.nk) = 1 , Kw,k gcd(n,n1,n2,n3,.nk) = 1 . uy p(n)(n) = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n,n1,n2,n3,.nk)=1 1. = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n1,n2,n3,.nk)=1 1. = p(n), . (ii): p(n)(n,k) = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n,n1,n2,n3,.nk)=1 1. p(n,k) = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n1,n2,n3,.nk)=1 1. d(i) gcd(n1,n2,n3,.nk) = 1 gcd(n,n1,n2,n3,.nk) = 1. p(n)(n,k)= X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n,n1,n2,n3,.nk)=1 1 = X k1,n=n1+n2+n3+.+nk, gcd(n1,n2,n3,.nk)=1 1 =p(n,k). . (iii): p(n)