第四节 合情推理与演绎推理 【知识识梳理】 1.合情推理 类类型定义义特别别 归纳归纳 推理 由某类类事物的_对对象具 有某些特征,推出该类该类 事物 的_对对象都具有这这些特 征的推理 由_到_、 由_到_ 部分 全部 部分整体 个别别一般 类类型定义义特别别 类类比 推理 由两类对类对 象具有某些_ _和其中一类对类对 象的某 些已知_,推出另一类对类对 象也具有这这些_的推理 由_到_ 合情 推理 归纳归纳 推理和类类比推理都是根据已有的事实实,经经 过观过观 察、分析、比较较、联联想,再进进行归纳归纳 、 _,然后提出_的推理 类类似 特征 特征 特征 特殊特殊 类类比猜想 2.演绎绎推理 (1)定义义:从一般性的原理出发发,推出某个特殊情况下的 结论结论 ,我们们把这这种推理称为为演绎绎推理.简简言之,演绎绎推理 是由一般到_的推理. 特殊 (2)“三段论论”是演绎绎推理的一般模式,包括: 大前提已知的_; 小前提所研究的_; 结论结论 根据_,对对特殊情况作出的判断. 一般原理 特殊情况 一般原理 【特别别提醒】 合情推理与演绎绎推理的关系 (1)合情推理的结论结论 是猜想,不一定正确;演绎绎推理在 大前提、小前提和推理形式都正确时时,得到的结论结论 一 定正确. (2)合情推理是发现结论发现结论 的推理;演绎绎推理是证证明结结 论论的推理. 【小题题快练练】 链链接教材 练练一练练 1.(选选修1-2教材P30练习练习 T1改编编)已知数列an中， a1=1，n2时时，an=an-1+2n-1，依次计计算a2，a3，a4后 ，猜想an的表达式是( ) A.an=3n-1 B.an=4n-3 C.an=n2D.an=3n-1 【解析】选C.a1=1，a2=4，a3=9，a4=16，猜想an=n2. 2.(选选修1-2P30练习练习 T2改编编)如图图，根据图图中的数构成 的规规律，得a表示的数是( ) A.12B.48C.60D.144 【解析】选D.由题干图中的数据可知，每行除首末两 数外，其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.所以 a=1212=144. 感悟考题题 试试一试试 3.(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问问到是否 去过过A,B,C三个城市时时, 甲说说:我去过过的城市比乙多,但没去过过B城市; 乙说说:我没去过过C城市; 丙说说:我们们三人去过过同一城市. 由此可判断乙去过过的城市为为 . 【解析】由丙可知,乙至少去过一个城市,由甲说可知 甲去过A,C,且比乙多,故乙只去过一个城市,且没有去 过C城市,故乙只去过A城市. 答案:A 4.(2016邵阳模拟拟)在平面几何中:ABC的C内角平 分线线CE分AB所成线线段的比为为 把这这个结论类结论类 比 到空间间:在三棱锥锥A-BCD中(如图图),DEC平分二面角A-CD-B 且与AB相交于点E,则则得到类类比的结论结论 是 . 【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的 比可得 答案: 考向一 类类比推理 【典例1】(1)(2016蚌埠模拟拟)已知双曲正弦函数 shx= 和双曲余弦函数chx= 与我们们学过过的 正弦函数和余弦函数有许许多类类似的性质质,请类请类 比正、余 弦函数的和角或差角公式,写出双曲正弦函数或双曲余 弦函数的一个类类似的正确结论结论 . (2)如图图,在RtABC中,C=90,设设a,b,c分别别表示三 条边边的长长度,由勾股定理,得c2=a2+b2. 类类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给试给 出空间间中四面体性质质的猜想. 【解题导引】(1)将双曲正弦函数shx= 和双曲 余弦函数chx= ,右端相乘,化简整理,再对比正 弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论. (2)考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选 取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比 对象. 【规范解答】(1)chxchy-shxshy = (ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y) = 2ex-y+2e-(x-y)= =ch(x-y). 答案:ch(x-y)=chxchy-shxshy (2)如题图所示,在RtABC中,C=90. 设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股 定理,得c2=a2+b2. 类似地,在四面体P-DEF中,PDF=PDE =EDF=90.设S1,S2,S3和S分别表示PDF,PDE, EDF和PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边 a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2, S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜 想S2=S12+S22+S32成立. 【母题变题变 式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换换成 “cos2A+cos2B=1”,则则在空间间中,给给出四面体性质质的猜 想. 【解析】如图,在RtABC中, cos2A+cos2B= 于是把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想,三 棱锥P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC, PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 ,则cos2+cos2+cos2=1. 2.本例(2)条件改为为“如图图,作CDAB于点D,则则有 ”.类类比该该性质质,试给试给 出空间间中四面体性 质质的猜想. 【解析】类比猜想: 四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD, 则 如图,连接BE交CD于点F,连接AF, 因为ABAC,ABAD,ACAD=A, 所以AB平面ACD,而AF 平面ACD,所以ABAF. 在RtAEF中,AEBF, 所以 易知在RtACD中,AFCD, 所以 猜想正确. 【规规律方法】 1.类类比推理的几个角度 类类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面 考虑类虑类 比: 类类比定义义; 类类比性质质; 类类比方法; 类类比结结构. 2.类类比推理的一般步骤骤 (1)找出两类类事物之间间的相似性或一致性. (2)用一类类事物的性质质去推测测另一类类事物的性质质,得出 一个明确的命题题(猜想). 【变变式训练训练 】(2016湖北八校联联考)已知ABC的顶顶点 A,B分别别是离心率为为e的圆锥圆锥 曲线线 =1的焦点.顶顶点 C在该该曲线线上;一同学已正确地推得:当mn0时时有 e(sinA+sinB)=sinC.类类似地,当m0,nn0时, 为椭圆, |AC|+|BC|= e(sinA+sinB)=sinC. 当m0,n0,且a1). (1)证证明:函数y=f(x)的图图象关于点 对对称. (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值值. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点 (x,y),它关于点 对称的点的坐标为(1-x,-1-y). 所以-1-y=f(1-x)，即函数y=f(x)的图象关于点 对称 (2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. 所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 【加固训练训练 】 1.“因为对为对 数函数y=logax是增函数(大前提),而y= 是对对数函数(小前提),所以y= 是增函数(结论结论 )”, 以上推理错误错误 的原因是 ( ) A.大前提错误导错误导 致结论错误结论错误 B.小前提错误导错误导 致结论错误结论错误 C.推理形式错误导错误导 致结论错误结论错误 D.大前提和小前提错误导错误导 致结论错误结论错误 【解析】选A.当a1时,函数y=logax是增函数;当0a0, f(x2)-f(x1)(x2-x1)0, 因为x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)为R上的单调增函数.