章集合与函数概念 1.2函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 课时 分段函数与映射 某魔术师 猜牌的表演过程是这样 的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人 从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌 号，牌号数是这样规 定的，A为1，J为11，Q为12，K为 13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按 如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减 去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对 准确)，表 演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中 的道理吗？ 情境引入 1.分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的 _的函数 知识点拨 分段函数是一个函数，不要把它误认为 是几个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集 ，值域是各段值域的并集 对应关系 新知导学 2映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 _元素x，在集合B中都有_的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB为从集合_到集 合_的一个映射 知识点拨 满足下列条件的对应f：AB为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之 对应 任意一个 唯一确定 AB (2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个 集合A，B均为_时，从A到B的映射就是函 数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映 射是函数的推广 知识点拨 函数新概念，记准三要素；定义域值域 ，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列 表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是 数集，任何集不限 非空数集 预习自测 答案 D 解析 结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任 意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中 元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射 答案 D 解析 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段 上函数的自变量的范围取并集，即：5,02,6) 分段函数及应用 思路分析 给出的函数是分段函数，应注意在不同 的自变量取值范围内有不同的解析式 (1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值 (2)在不同的区间，依次画出函数图象 点评 本题易出现对分段函数的定义域与值域的求 法不清楚而致错 规律总结 1.解答本题第(1)、(2)题时，应注意自 变量的取值范围 2分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在 的范围，代入相应的解析式求解 3画图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一 段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图 象，再用实线保留定义域内的一段图象即可 练习1 映射的概念 思路分析 (1)从集合A到B的映射中元素是怎样对应 的 ？ (2)怎样判断一个对应 是映射？ 解析 (1)A中元素3在对应 关系f的作用下与3的差的绝对 值为 0，而0B，故不是映射 (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元 素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射 (3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一 的元素与之对应，符合映射定义，是映射 练习2 分段函数的实际应用 思路分析 (1)点P位置不同ABP的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域 (3)即f(x)2，当0x4时，2x2，x1， 当8x12时，2(12x)2， x11，x的取值范围是1x11. 点评 (3)可以作直线y2与函数yf(x)的图象交于 点A(1,2)，B(11,2)，要使y2，应有1x11. 规律总结 利用分段函数求解实际应 用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为 数学语言 (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型 (3)思想方法：解题过 程中运用分类讨论 的思想方法 练习3 误区警示 错因分析 以上解法的错误 之处在于误解了映射的定 义a410或a23a10都有可能，因而要分类讨论 思路分析 对于A映射f：AB，A中的元素x的象可能 是B中的任意一个元素，故在解此类题时 要将问题 考虑 全面 练习4 当堂检测 A、 B、 C、 D、 答案 D 解析 由图知中元素a1在B中对应元素不唯一， 中元素a2在B中无象，都不是映射，是映射， 故选D. 答案 5 解析 f(2)2a13， a2，f(x)2x1， f(3)5.