二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第五章 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 可导, 则有 一、第一类换元法 定理1.则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 令则故 原式 = 注: 当时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 令则 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 想到 解: (直接配元) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似 例5. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式: 万 能 凑 幂 法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求 解法1 解法2 两法结果一样 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求 解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 同样可证 或 (P194 例18) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 . 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 例15. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 提示: 法1 法2 法3 作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 定理2 . 设是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证:令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 例16. 求 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17. 求 解: 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例18. 求 解:令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 被积函数含有时, 除采用 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考书上 P201-P202 ) 或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式 原式 例19. 求 解: 令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令或 令或 令或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 (P197) (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 (P197公式 (20) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求 例21. 求 解: (P197 公式 (23) ) 例22. 求 解: 原式 = (P197 公式 (22) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例23. 求 解: 原式 (P197公式 (22) ) 例24. 求 解: 令得 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例25. 求 解: 原式 令 例16 例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知求 解: 两边求导, 得则 (代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P198 A 1.(2) , (3) , (8) , (9) , (11) , (12) , (15) . 1. B 1.(1) , (2) , (4) , (5) , (7) , (8) , (10) , (13). 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 求下列积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以 3. 求不定积分 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束