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锐角三角函数 sinA 、cosA、tanA 、 cotA分别等于直角三角形 中哪两条边的比? 回顾 新课导入新课导入 A B C 珠穆朗玛峰,海拔8844.43米,为世界第一高 峰,位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀 则地区定日县正南方峰顶终年积雪,一派圣洁景 象珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以 上的山峰,被誉为地球第三级 珠穆朗玛峰那 么高,它的高度是 怎样测出来的? 测量珠峰高程,首先确定珠峰海拔高程起算 点我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零 起始点(水准原点),因为测绘人员已取得西藏 拉孜县相对青岛水准原点的精确高程,测量队只 需要从拉孜起测前半程仍采用传统而精确的水 准测量法,每隔几十米竖立一个标杆,通过水准 仪测出高差,一站一站地将高差累加起来就可得 出准确数字这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交 会测量点 当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交 会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运 用“勾股定理”的基本原理,推算出峰顶相对于 这几个点的高程差 最后,通过进行重力、大气等多方面的改 正计算,确定珠峰高程GPS测量,则是将 GPS测量设备带至峰顶直接获取数据,然后通 过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程 【知识与能力】 1掌握直角三角形的边角关系; 2会运用勾股定理、直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐 步分析问题、解决问题的能力 【情感态度与价值观】 通过本节的学习,渗透数形结合的数学思 想,培养良好的学习习惯 教学目标教学目标 重点: 直角三角形的解法 难点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学重难点教学重难点 直角三角形ABC中,C=90,a、b 、c、A、B这五个元素间有哪些等量 关系呢? A B C a b c 5个 6个元素 三边 两个锐角 一个直角(已知) A B C a b c ABC中,C为直角,A,B,C所 对的边分别为a,b,c,且b3,A30,求 B,a,c A B C a b c 3 30 ? ? ? (1)三边之间的关系 a2b2c2(勾股定理); (2)锐角之间的关系 A B 90 (3)边角之间的关系 解直角三角形的依据 A B C a b c 在下图的RtABC中, (1)根据A=60,斜边AB=6,试求出这个 直角三角形的其他元素 C A B B30; AC3, BC 探究 (2)根据AC=3,斜边AB=6,试求 出这个直角三角形的其他元素? C A B B30; A60, BC 在直角三角形的六个元素中,除直角外 ,如果再知道其中的两个元素(至少有一个 是边),就可求出其余的元素 结论 知识要点 解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素求未知 元素的过程,叫解直角三角形 【例1】在ABC中,C90,c8, B40,解这个直角三角形(精确到0.1) C B A a b c 解:A90 4050 【例2 】在ABC中,C90,a5, ,求A、B、c边 解: A56.1, B9056.132.9 C B A a b c (1)在ABC中,C90,b30,c40 ,解直角三角形 A41.4 B48.6 小练习小练习 C B A a b c (2) ABC中,C90,a、b、c分别 为A、B、C的对边, a6,sinA ,求b,c,tanA; ac12,b8,求a,c,sinB b c15 C B A a b c (3) 在ABC中,C为直角,A、 B、C所对的边分别为a、b、c,且c=287.4, B=426,解这个三角形 a2133 b1927 A4754 已知 两边 两直角边 一斜边,一直角边 一边一角 一锐角,一直角边 一锐角,一斜边 归纳 已知斜边求直边,正弦余弦很方便; 已知直边求直边,正切余切理当然; 已知两边求一角,函数关系要选好; 已知两边求一边,勾股定理最方便; 已知锐角求锐角,互余关系要记好; 已知直边求斜边,用除还需正余弦; 计算方法要选择,能用乘法不用除 优选关系式 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时: 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角 方向角 如图:点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45(西南方向) 30 45 B O A 东西 北 南 【例3 】 如图, 在上海黄埔江东岸,矗立 着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学生在 黄埔江西岸B处,测得塔尖D的仰角为45,后 退400m到A点测得塔尖D的仰角为30,设塔底 C与A、B在同一直线上,试求该塔的高度 A C B D 30 45 解 : 设塔高CD=x m 在RtBCD中, DNC=45 BC=x CA=400+x 在RtACD中, DAC=30 AC=xtan60=400+x 塔高CD 为 m (1)如图,某飞机于空中A处探测到目 标C,此时飞行高度AC=1500米,从飞机上 看地平面控制点B的俯角a=25,求飞机A到 控制点B距离(精确到1米) A B C 小练习小练习 解:在RtABC中 A B C 答:飞机A到控制点B距离为3000.0米 (2)如图,某海岛上的观察所A发现海上某船只 B并测得其俯角=82已知观察所A的标高(当水位 为0m时的高度)为45m,当时水位为+2m,求观察所 A到船只B的水平距离BC(精确到0.01m) 小练习小练习 解: 所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m 【例4】如图,海岛A四周45海里周围内 为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处 见岛A在北偏西60,航行18海里到C,见岛A 在北偏西45,货轮继续向西航行,有无触礁 的危险? A BDC PP1 4560 答:货轮有触礁危险 PBA= 60, P1CA= 30, ABC=30, ACD= 30, 在RtADC中, CD=ADcotACD= xcot60, 在RtADB中, BD=ADcot45= xcot45, BDCDBC,BC18 xcot45- xcot60=18 x 9(31.732)=42.588 15 (2)正午8点整,一渔轮在小岛O的北偏东30 方向,距离等于20海里的A处,正以每小时10海里 的速度向南偏东60方向航行那么渔轮到达小岛 O的正东方向是什么时间?(精确到1分) 10时44分 小练习小练习 30 60 A O B C (3)如图,海岛A的周围15海里内有暗礁,鱼 船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于 北偏东60,航行16海里到达点C处,又测得海岛A 位于北偏东30,如果鱼船不改变航向继续向东航行 有没有触礁的危险? 有触礁的危险 小练习小练习 【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形,下 图是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是45 ,外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm ,求它的里口宽BC(精确到1mm) 解:等腰梯形中,AD=180mm,AE=70mm, B=45AEBC 又BE=EC 答:它的里口宽BC长为320mm 遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加 辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图 形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直 角三角形的问题 如图,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆 ,拉线和地面成60角,求拉线AC的长以及拉线下 端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米) AC约为5.77米 AD约为2.89米 小练习小练习 (2)如图,在等腰梯形ABCD中,DCAB, DEAB于E,AB=10,DE=6, cosA= ,求 CD的长 CD的长为1 小练习小练习 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡 度(或叫做坡比),一般用i表示把坡面与 水平面的夹角叫做坡角 坡度、坡角 h 【例6 】(1)如图,温州某公园入口处原有 三级台阶,每级台阶高为30cm,深为30cm为方 便残废人士,现拟将台阶改为斜坡,设台阶的起 始点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡角 BCA设计为12,求AC的长度 (sin12 0.2079) 解: 在RtBDC中,C=12 AC=28260=222(cm) 由题意得,BD=60 (2)如图,在山坡上种树,要求株距( 相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡 的倾斜角是24,求斜坡上相邻两树的坡面距 离是多少(精确到0.1m) 上述问题可以归结为: 在 RtABC中,C=90,AC=5.5,A=24, 求AB 解:在RtABC中, 答:斜坡上相邻两树的坡面距离是6米 (1)如图,沿AC方向开山修渠,为了加 快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从 AC上的一点B取ABD=140,BD=500m, D=50,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m ),正好能使A、C、E成一条直线? 小练习小练习 解:要使A、C、E在同一直线上,则ABD是 BDE的一个外角 BED=ABDD=90 DE=BDcosD=5000.6428 =321.400321.4(m) 答:开挖点E离D为321.4米,正好能使A、C、E 成一直线 (2)如图 ,水库大坝的横断面是梯形,坝顶 宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD 的坡度i=1:2.5,求斜坡AB的坡面角,坝底宽AD 和斜坡AB的长(精确到0.1m) 坝底AD的宽为 132.5m,斜坡AB的 长为72.7m 小练习小练习 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平 面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角 函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案 利用解直角三角形的知识解决实际问 题的一般过程是: 归纳 (1)三边之间的关系a2b2c2(勾股定理); (2)锐角之间
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