9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 压压杆受临界力杆受临界力 F F crcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平平 衡时，横截面上的压应力可按衡时，横截面上的压应力可按 = = F F/ /A A 计算计算. . 一、临界应力和柔度一、临界应力和柔度 1. 1. 欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为上的应力为 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 i i 为为压杆横截面对中性轴的惯性半径压杆横截面对中性轴的惯性半径. . 称为称为压杆的柔度（长细比压杆的柔度（长细比），），集中地反映了压杆的长度集中地反映了压杆的长度l l 和杆端约束和杆端约束条件、条件、截面尺寸和形状截面尺寸和形状等因素等因素对对临界应力的影响临界应力的影响. . 越大，相应的越大，相应的 crcr 越小，压杆越容易失稳 越小，压杆越容易失稳. . 令令 令令 则则 则则 若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压杆的临界应，并按较大者计算压杆的临界应 力力 crcr 。 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 二、二、 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 只有在只有在 crcr p p 的 的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的计算压杆的 临界压力临界压力 F Fcr cr（ （临界应力临界应力 crcr ） ）. . 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 即即 p p （大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 范围范围. . p p 的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能. . 例如，对于例如，对于Q235Q235钢，钢， 可取可取 E E=206GPa=206GPa， p p =200MPa=200MPa，得得 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 三三. . 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 式中：式中：a a 和和 b b是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出. . 直线公式直线公式 或或 令令 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、四、压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图 1.1.压杆的分类压杆的分类 （1 1）大柔度杆大柔度杆 （2 2）中柔度杆中柔度杆 （3 3）小小柔度杆柔度杆 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 2.2.临界应力总图临界应力总图 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 例题例题1 1 压杆截面如图所示压杆截面如图所示. . 两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕 y y 轴失轴失 稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕 z z 轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支. . 已知，杆长已知，杆长 l l=1m =1m ，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa， p p =200MP=200MPa. a. 求压杆的临界求压杆的临界 应力应力. . 30mm 20mm y z 解：解： 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 30mm 20mm y z 因为因为 z z y y ，所以压杆绕，所以压杆绕 z z 轴先失稳，且轴先失稳，且 z z =115 =115 p p ，用，用 欧拉公式计算临界力欧拉公式计算临界力. . 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 例题例题2 2 外径外径 D D = 50 mm= 50 mm，内径内径 d d = 40 mm = 40 mm 的钢管，两端铰支的钢管，两端铰支 ，材料为，材料为 Q235Q235钢，承受轴向压力钢，承受轴向压力 F F. . 试求试求 （1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2 2）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 3/4 时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力. . 已知：已知： E E = 200 = 200 GPaGPa， p p = 200 = 200 MPaMPa ， s s = 240 = 240 MPaMPa ，用直，用直 线公式线公式时，时，a a = 304 = 304 MPaMPa， b b =1.12 =1.12 MPaMPa. . 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 解：（解：（1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度）能用欧拉公式时压杆的最小长度 压杆压杆 = 1= 1 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 （2 2）当）当 l l = 3/4 = 3/4 l lmin min 时， 时，F Fcr cr=? =? 用直线公式用直线公式计算计算