<p>&lt;p&gt;第十二章 振動 2 Ch12 振動 週期運動 ? 物體做規律性的重複運動稱為週期運動 n物體在經過一定時間後會重回某一特定的位置 ? 在一個力學系統中，若作用於物體的力與 物體距平衡位置的距離成正比時，物體將 會做一種相當特殊的週期運動。 n如果上述的力恆指向物體的平衡位置時，這種 運動就稱為簡諧運動。 3 Ch12 振動 12.1 繫於彈簧一端之質點的運動 彈簧-質量系統的運動 ? 質量為 m 的木塊以一 彈簧相連，在水平光 滑的接觸面上滑動。 ? 當彈簧既未被拉長也 未被壓縮，此時木塊 的位置稱為平衡點。 nx = 0 5 Ch12 振動 NEXT ?If you cant see the image above, please install ?If this active figure cant auto-play, please click right button, then click play. 6 Ch12 振動 虎克定律 ? 虎克定律描述 nFs 為線性彈簧恢復力 ? 此力永遠指向平衡位置 ? 因此恢復力永遠和自平衡點量起的位移反方向 nk 為彈簧的力常數 nx 為位移 7 Ch12 振動 關於恢復力的一些規定 ? 木塊若其位移是由 x = 0 處朝右 n此時木塊的位置取正值 ? 而在此同時木塊所受來自於彈簧的恢復力則向左 8 Ch12 振動 關於恢復力的一些規定 ? 木塊位於平衡位置時 nx = 0 ? 此時彈簧既無伸長也未被壓縮 ? 這時的恢復力為零 9 Ch12 振動 關於恢復力的一些規定 ? 如果木塊的位移是自 x = 0 處朝左 n此時它的位置取負值 ? 彈簧的恢復力這時指向右 10 Ch12 振動 加速度 ? 於牛頓第二定律中，木塊所受由虎克定律 所描述的恢復力，為其淨力。 11 Ch12 振動 加速度 ? 加速度的大小與木塊的位移成正比。 ? 加速度的方向與自平衡點量度的位移方向 相反。 ? 一物的加速度若其大小與位移的大小成正 比，而方向與位移相反時，該物即做簡諧 運動。 12 Ch12 振動 加速度 ? 加速度並非常數 n因此，等加速度運動方程式對振盪運動不適用 n若木塊於 x = A 處釋放，則其釋放時的加速度 為 kA/m ? 物體釋放時速率為零 n當物體通過平衡位置的瞬間，其加速度為零 ? 此時物體速率最大 n當木塊移動到 x =A 處時，它的加速度為+kA/m 13 Ch12 振動 木塊的運動 ? 木塊持續在 x = A與 x = +A 之間來回運動 n在 x = A 與 x= +A 這兩處稱為轉捩點 ? 作用於木塊上的恢復力為保守力 ? 在沒有摩擦力作用的情形下，這一運動模 式會永遠持續下去 n在實際情況下，這類系統均受到摩擦力作用， 所以往復振盪永不停止的現象不會出現 14 Ch12 振動 簡答題 12.1 ? 繫於彈簧一端的木塊被拉至位置 後釋放。 在一個完整的循環運動中，此木塊移動總 距離為多少？(a) A / 2；(b) A ；(c) 2A ；(d) 4A 。 15 Ch12 振動 簡答題 12.1 ? (d)。由最大正位移處到平衡點位置，物體 移動了距離 A。之後通過平衡點再移動相同 距離到達最大負位移處。最後以反方向重 複以上兩運動回到初始點處然後完成一個 循環。 16 Ch12 振動 12.2 簡諧運動的數學描述 簡諧運動-數學表示法 ? 將木塊以質點加以模型化 ? 把往復運動的路徑定為 x 軸 ? 物體的加速度 ? 令角頻率(角速度) w 為 ? 於是 18 Ch12 振動 簡諧運動-數學表示法 ? 滿足前一方程式的函數 x 需符合下述要求 n此一函數的二次導函數(微分)需與原函數相同 但差一負號，並且是原函數的 w2 倍 n符合前項要求的函數有正弦(sin) 和餘弦(cos) 二 種函數 19 Ch12 振動 簡諧運動 圖形表示法 ? 滿足加速度方程式的解 x(t)，可表示為 ? 上式中A, w, ? 均為常數 ? 餘弦函數曲線可以用來 說明這些常數的物理涵 義 20 Ch12 振動 NEXT ? If you cant see the image above, please install ? If this active figure cant auto-play, please click right button, then click play. 21 Ch12 振動 簡諧運動 定義 ? A 為此種運動的振幅 n這是質點朝正的方向或負的方向運動時所能達 到的最大位置 ? w 稱為角頻率 n其單位為弧度/秒(rad/s) ? ? 為相常數或稱為相位角 22 Ch12 振動 簡諧運動 ? 振幅 A 及相常數 ? 均由在 t = 0 時質點的位 置與速度唯一決定 ? 若質點在 t = 0 時 x = A，這時 ? = 0 ? 質點運動時的相角為(wt + ?) ? 質點的位置時間函數 x(t) 呈週期性，當wt 每增加 2p 弧度時函數的值都相同 23 Ch12 振動 週期 ? 週期 T 是指質點做一完整的循環運動所花 的時間 n於時間 t 時質點的位置 x 和速度 v ，與時間為 t + T 時的量相同 24 Ch12 振動 頻率 ? 週期的倒數稱為頻率 ? 頻率為單位時間內，質點週而復始運動的 次數 ? 頻率的單位是週/秒= 赫茲 (Hz) 25 Ch12 振動 週期與頻率的重點 ? 頻率與週期可用來求解 w ? 週期和頻率也可表示成 26 Ch12 振動 週期與頻率總整理 ? 頻率和週期僅與質點的質量，彈簧力常數 有關 ? 它們和物體運動的參數無關 ? 對使用強力彈簧(彈力常數 k 較大)的系統， 物體運動的頻率較大，當質點質量增加時 ，頻率會漸減 27 Ch12 振動 簡諧運動的運動方程式 ? 請隨時記住，簡諧運動並非是等加速度運 動 28 Ch12 振動 速度 v 和加速度 a 的最大值 ? 因為正弦和餘弦函數它們是在 1 之間變化 ，是故一個做簡諧運動的質點，我們可以 利用此二函數的特性，找到速度和加速度 的最大值 29 Ch12 振動 簡諧運動的圖形 ? 右側的圖形分別表示 (a)位移與時間的關係 (b)速度與時間的關係 (c)加速度與時間的關係 ? 由圖中可看出，速度與 位移之間相差為 90， 加速度與位移之間的相 差為180 30 Ch12 振動 31 Ch12 振動 NEXT ? If you cant see the image above, please install ? If this active figure cant auto-play, please click right button, then click play. 32 Ch12 振動 簡諧運動例子1 ? 在 t = 0 時的初始條件 為 nx (0)= A nv (0) = 0 ? 這意謂著 ? = 0 ? 加速度最大可達 w2A ? 最大速度可達 wA 33 Ch12 振動 簡諧運動例子2 ? 在 t = 0 時的初始條件為 nx (0)=0 nv (0) = vi ? 這意謂著 ? = -p/2 ? 與 t = 0 時物體位於 x (0) = A 的圖形相較， 它的 x(t) 圖像右移了四 分之一週 34 Ch12 振動 35 Ch12 振動 NEXT ? If you cant see the image above, please install ? If this active figure cant auto-play, please click right button, then click play. 36 Ch12 振動 簡答題 12.2 ? 如圖12.7所示之簡諧運動，其數學的表示式 如 (12.6) 式。(i) 當物體置於圖中的 A 點時 ，試問其方位及速度分別是 (a) 皆為正；(b) 皆為負；(c) 正和0；(d) 負和0；(e) 正和負 ；(f) 負和正。(ii) 以相同的選項來決定當物 體置於圖中的位置 A 時，其速度及加速度 符號分別為何？ 37 Ch12 振動 簡答題 12.2 38 Ch12 振動 簡答題 12.2 ? (i)，(f)。物體位於 x &amp;lt; 0 區域，所以其位置 為負。因為物體朝向原點移回，所以其速 度為正。(ii)，(a)。如 (i) 一樣，速度為正。 因為彈簧將物體從負 x 區域往平衡點推，所 以加速度也為正。 39 Ch12 振動 40 Ch12 振動 例題12.1 ? 將一質量200 g的磚塊與力常數5.00 N/m平 放輕彈簧連接，而使其水平無摩擦面振動 。 A.假如磚塊移離平衡點5.00 cm後釋放，如互 動圖12.4，求其運動週期？ 41 Ch12 振動 例題12.1(續) ? 解答 B.求得磚塊的最大速率及最大加速度。 ? 解答 42 Ch12 振動 例題12.1(續) 43 Ch12 振動 例題12.1(續) C.假設 ? = 0，將這物體的位置、速度及加速 度表為時間的函數。 ? 解答 44 Ch12 振動 例題12.2 ? 沿著 x 軸做簡諧運動的質點，根據下列式子 ，其位置依據樣式隨時間變化 式中 的單位是秒。 A.決定運動的振幅、頻率及週期。 ? 解答 45 Ch12 振動 例題12.2(續) B.計算任何時刻 t，質點的速度與加速度。 ? 解答 46 Ch12 振動 例題12.2(續) C.當時間 t = 0 時，質點的位置和速度為何？ ? 解答 47 Ch12 振動 例題12.3 ? 已知角頻率的簡諧振動子，假設其起始速 度及起始位置分別為 vi 及 xi，即 和 ，用這些起始參數值來寫出振幅和 相位常數的表述式。 ? 解答 和 或 48 Ch12 振動 例題12.3(續) 49 Ch12 振動 12.3 簡諧運動中的能量表示法 簡諧運動的能量 ? 假設一個彈簧質量系統是在光滑的水平面 運動 n這是一個孤立系統 ? 它告訴我們，系統總能量為常數 ? 質點的動能可以寫成 ? 系統的彈力位能可以寫成 ? 系統的總能量是 51 Ch12 振動 簡諧運動的能量 ? 系統的總力學能(機械 能)守恆 ? 系統的總力學能與振 幅的平方成正比 ? 能量持續在彈簧儲存 的彈力位能與木塊移 動的動能，二種能量 之間轉換 52 Ch12 振動 簡諧振盪的能量 ? 只要運動不終止，動 能與位能之間能量的 轉換就持續進行著 ? 可以透過能量來計算 速度 53 Ch12 振動 54 Ch12 振動 NEXT ? If you cant see the image above, please install ? If this active figure cant auto-play, please click right button, then click play. 55 Ch12 振動 例題12.4 ? 一0.500 kg的物體被繫於力常數為20.0 N/m 之無質量彈簧上，在無摩擦軌道上做水平 振動。 A.計算系統的總能量，以及假如運動的振幅 為3.00 cm時，物體的最大速度。 ? 解答 56 Ch12 振動 例題12.4(續) B.當物體的位置等於2.00 cm時，物體的速度 為何？ ? 解答 57 Ch12 振動 例題12.4(續) C.計算當位置等於2.00 cm時，系統的動能與 位能。 ? 解答 58 Ch12 振動 12.4 單擺 單擺 ? 單擺的擺動也呈週期性 ? 單擺由質量 m 的質點與懸掛此質點長度為 L &lt;/p&gt;</p>