第13章控制系统的根轨迹分析 主要内容 n控制系统的根轨迹分析 n图形化根轨迹法分析与设计 13.1 控制系统的根轨迹法分析 13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述 n以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息： n临界稳定时的开环增益；闭环特征 根进入复平面时的临界增益；选定 开环增益后，系统闭环特征根在根 平面上的分布情况；参数变化时， 系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。 13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数 nMATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档 rlocus(G) rlocus(G1,G2,.) rlocus(G,k) r,k = rlocus(G) r = rlocus(G,k) 绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于 同一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益 向量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r 有length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根 位置矩阵。r有length(k)列，每列对应 增益的闭环根 K,POLES = rlocfind(G) K,POLES= rlocfind(G,P) 交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字 光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点 ，同时给出该增益所有对应极点值 返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的 全部极点值 sgrid sgrid(z,wn) 在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1 ，范围从0到1，自然振荡角频率间隔 1rad/s，范围从0到10 在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数 值和自然振荡角频率值 13.1.3 MATLAB根轨迹分析实 例 n例1：若单位反馈控制系统的开环传 递函数为 绘制系统的根轨迹。 程序如下： clf; num=1; den=conv(1 1 0,1 5); rlocus(num,den) %绘制根轨迹 axis(-8 8 -8 8) figure(2) r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数 plot(r, -) %绘制根轨迹，注意r要用转置 axis(-8 8 -8 8) gtext(x) %鼠标放置一个文本到图上 gtext(x) %鼠标确定文本的左下角位置 gtext(x) (a) 直接绘制根轨迹 (b) 返回参数间接绘制根轨迹 图13.2 例1系统根轨迹 n例2：若单位负反馈控制系统的开环传 递函数为，绘制系统的根轨迹，并据根 轨迹判定系统的稳定性。 num=1 3; den=conv(1 1,1 2 0); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0) 图13.3 例2系统根轨迹 分析：由根轨迹图13.3，对于任意的Kg ，根轨迹均在s左半平面。系统都是稳定 的。 可取增益Kg=4和Kg=45并通过时域分析 验证。下图分别给出了Kg=4时和Kg=45 时系统的单位阶跃响应曲线。可见，在 Kg=45时因为极点距虚轴很近，振荡已 经很大。 (a) 时系统时域响应曲线 (b) 时系统时域响应曲线 图13.4 例2系统时域响应曲 线 n例3：若单位负反馈控制系统的开环 传递函数为 绘制系统的根轨迹，确定当系统 稳定时，参数的取值范围。 clear; num=1 0.5; den=conv(1 3 2,1 5 0); G=tf(num,den); K=0:0.05:200; rlocus(G,K) K,POLES= rlocfind(G) figure(2) Kg=95; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0,t) 图13.5 例3系统根轨迹 Select a point in the graphics window selected_point = -0.0071 + 3.6335i K = 95.5190 POLES = -7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821 图13.6 例3系统时的阶跃响 应 分析：由根轨迹图13.5，结合临界稳定值可知，系统稳定时 ，临界稳定时的阶跃响应曲线如图13.6。 例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘 制时的系统单位阶跃响应曲线。 clear; num=1; den=1 2 0; G=tf(num,den); rlocus(G) sgrid(0.707,) %画等阻尼系数线 K,POLES=rlocfind(G) 运行结果： 图13.7 例4系统根轨迹 Select a point in the graphics window selected_point = -0.9964 + 0.9829i K = 1.9661 POLES = -1.0000 + 0.9829i -1.0000 - 0.9829i 绘制时系统的单位阶跃响应曲线： figure(2) Kg=1.97; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0) 图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线 13.2图形化根轨迹法分析与设计 nMATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具 rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以 分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。其 方便性在于设计零极点过程中，能够不断观 察系统的响应曲线，看其是否满足控制性能 要求，以此来达到提高系统控制性能的目的 。 13.2.1 图形化根轨迹法分析 与设计工具rltool n用户在命令窗口输入rltool命令即可打开图形 化根轨迹法分析与设计工具，如图13.9。 图13.9 rltool初始界面 n也可以指定命令参数，其具体用法如表13.2： rltool(Gk)指定开环传递函数 rltool(Gk,Gc) 指定待校正传递函数和校正环节 rltool(Gk,Gc,Locati onFlag, FeedbackSign) 指定待校正传递函数和校正环节，并指定校正环节 的位置和反馈类型 LocationFlag = forward: 位于前向通道 LocationFlag = feedback: 位于反馈通道 FeedbackSign = -1: 负反馈 FeedbackSign = 1: 正反馈 图13.10 rltool工具Control Architecture窗口 用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。 图13.11 rltool工具System Data窗口 也可通过 System Data窗 口为不同 环节导入 已有模型 ，如图 13.11。 图13.12 rltool工具Compensator Editor窗口 可以通过 Compen sator Editor的 快捷菜单 进行校正 环节参数 的修改， 如增加或 删除零极 点、增加 超前或滞 后校正环 节等，如 图13.12 图13.13 rltool工具Analysis Plots窗口 通过 Analysis Plots配 置要显示 的不同图 形及其位 置，如图 13.13。 13.3.2 基于图形化工具rltool的系 统分析与设计实例 n例：系统开环传递函数 ，用根轨 迹设计器查看系统增加开环零点或开环极点后对系统 的性能。 1.打开工具。在MATLAB命令窗口输入，结果如图 13.14： G=tf(1,1 1 0) rltool(G) 图13.14 rltool工具Design Task窗口，也可以在Graphical Tuning页用Show Design Plot打开 选择Analysis PlotsPlot Type: Step，Show Analysis Plot,显示选定点的单位阶跃响应曲线。 如图13.15所示，此时，鼠标在根轨迹上移动时， 对应增益的系统时域响应曲线实时变化。 n2.增加零点。可直接在工具栏上操作，也可通 过快捷菜单操作。增加零点为 。 图13.16 系 统增加零点 后的根轨迹 图13.17 系统 增加零点 后的阶跃响应 加入零点后，根轨迹向左弯曲，如图13.17。所选 K值对应的极点在s平面左侧，系统是稳定的。对 应K值的阶跃响应曲线如图13.17。 图13.26 系 统增加极点 后的阶跃响应 系统增加极点后，根轨迹向右弯曲，如图13.18。当进入s 平面右半平面时，系统不稳定。图13.19所选K值对应的极 点已进入s平面右侧，系统是不稳定的。 练习：系统方框图如图所示。绘制系统 以k为参量的根轨迹，并分析系统性能 。