中学数学解题研究 第一讲 一、解题研究的意义 n1、巩固知识和技能，提高数学理解能力 n数学知识和技能的学习，离不开数学解题 ，即使学生理解了数学概念、定理等，对 于数学知识未必熟练掌握，也不一定能具 有计算能力、数据处理能力、推理能力等 。数学知识和技能的巩固只有在相应的数 学问题情境中才能体现，学生必须通过处 理相应的问题，将数学知识和技能内化， 才能真正掌握。 n在学生解题的同时，增加对数学的思考， 可以更好地理解数学，掌握数学。当然， 这里的解题是一种有意义学习，而不是机 械模仿或记忆，通过学生的理解和深化， 对数学知识进行合理组织，构建或完善数 学认知结构，从而提高数学的理解能力。 n通过上述的解答，学生练习三角函数的化 简能力，同时可以巩固周期的概念，而不 是仅仅记住周期的定义；学生熟练了计算 的技能。在解题过程中，学生对于数学知 识进行重新组织和安排，从而进一步理解 三角函数的概念，以及周期的意义。同样 ，通过解题，学生可以复习和巩固“三角函 数的最大值和最小值”问题。 n2、在解题中领悟数学思想方法 n通过观察发现，等号两边都是关于x的式子 ，必然恒等。因此想到解决问题的方法。 n最后解得A=4。 通过解决以上两个问题，更加能够理解要先 观察数学问题的结构特点，然后再运用适 当的数学思想方法去解决它。如此，我们 对于数学问题的理解就更深一步了。 n3、通过解题，发现自己的知识和方法存在 的问题 n现在的问题是：反证法的第一步是什么？ 反证法的逻辑依据是什么？ n实践证明，不少的中学数学教师做不出来 。 n4、通过解题研究，积累解题经验 n对于大多数人来说，解题经验是必要的。 熟悉的问题远比陌生的问题好解。 n5、更好地了解学生的思维过程 n作为一名教师，应熟悉问题的解决思路和 步骤，如此，才能更好地了解学生的思维 过程，发现学生的思维存在的问题，才能 更好地帮助学生，促进学生的数学理解。 n6、解题能力是中学老师重要的能力之一 n波利亚指出“掌握数学意味着解题”。解题教 学是数学教学的重要组成部分。是完成数 学教学目的的重要手段。因此，要搞好解 题教学，对教师的能力要求，不仅是看他 是否具备某一项“看家本领”，而应看他是否 具备数学教师在解题教学中应该具备的能 力结构。 n1、教师自身的解题能力 n数学教师自身的解题能力是整个解题教学能力形 成的前提和基础。作为一名数学教师，具备一定 的解题能力应是最起码的要求，在此不作赘述。 n需要指出的是，教师的解题能力，在知识、技能 、方法的应用上，既要超过课程标准要求的的广 度和深度，又要有较大的灵活度；在题目的解决 上，既要有较开阔的解题思路，又要有较好的书 写表达能力；在知识层次上，既能用初等数学知 识解决问题，又能用高等数学的观点去分析解题 方法和解题思维过程中出现的数学背景； 创新题研究 n近年来，全国各地的试题都不断出现创新 题。所谓创新题，一是形式创新；二是内 容创新，主要以高等数学知识为背景。 n创新题的意图就是考查学生的创新意识和 能力，为高等院校选拔出具有学习潜力的 考生。 2011年文10题 2011年理8题 n文10题考查复合函数与函数的乘积等知识点 ，考查考生对新定义的理解与创新思维能 力，有较大难度。 n理8题考查数集关于乘法的封闭性知识，考 查考生对新定义的理解和推理论证能力， 有较大难度。 n分析：此题考查的知识点是复合函数与函 数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。 另解 n从选项进行分析，我们知道，A选项包含了 D选项，即如果D选项正确，那么A选项也 应该是正确的。如果从这个方面来思考， 那么D选项就是首先应该淘汰的。再结合某 个例子就可以确定正确答案了。 n这道题是一道很好的题，既能考查到学生 的数学知识，又能考查到学生的数学素养 。 n可以说是一道“顶天立地”的好题！所谓“立 地”，就是有中学数学知识的基础；所谓“顶 天”就是有高等数学知识的内涵。 n稍微改动一下又可以是一道好题：例如， 复数的模是一种距离，若重新定义一种距 离，要求证明该距离对三角不等式成立。 n在学科交叉及相互联系上，既能联系生活、科研、生产、 经济实际领域中的应用，去分析题目的实际背景；又能结 合德育、智育、美育教育领域中的内容，去挖掘题目中对 学生进行思想素质教育的有效因素。 n只有这样，教师在解题教学中，才能提示题目的多解性、 拓展性、内蕴性和常用的数学思想方法，总结可资借鉴的 规律；只有这样，才能居高临下，统观全局，有的放矢， 富有成效；只有这样，才能为指导学生用数学的立场、观 点、方法去解决问题而创造有利条件；只有这样，才能帮 助学生逐步形成科学世界观和方法论，从根本上为实现素 质教育的目的打下良好基础。 n决策解题教学的能力 n解题教学既涉及题目相关的学科知识，又涉及到 不同知识的相互联系；既有整体性，又有阶段性 。它目的性强，牵涉面广，因素较多。在这一复 杂的过程中，处于主导地位的教师，应力求从整 体到阶段以及各个环节上，都要保持对教学的正 确决策，大到计划的制订、序列的安排、解题训 练系统与教学系统的协调，小到某一项训练重点 、目的的确定，一次训练形式与方法的选择，一 组例题与习题的选、编、配都需要教师科学的决 策。 n评价学生解题的能力 n评价学生解题能力，就是发现和指出学生解题中 的优点、缺点乃至错误的能力。这种能力是非常 重要的。在解题教学中，学生解题是学生学习水 平的反映，又是教师对学生进行指导的依据。能 否合理准确地对学生的解题进行评判，关系到能 否对学生进行有效地解题指导，关系到能否提高 教与学的质量。这就要求数学教师既要有较高的 、全面的专业知识水平和日常生活常识，以至物 理、化学等学科的知识，也要有较强的分析概括 和联想比较鉴别能力。 n教师要有能力即使指出对学生的解题中出 现的好的解法，好的思路，或者不足之处 ，而且要反馈得及时。教学实践证明，反 馈越快，学生越关注题目解答过程的正误 ，对知识的掌握和能力的形成就越有效； 反馈越慢，学生越是只关注分数的高低， 而对解题本身越淡漠。 n指导学生解题的能力 n在解题教学过程中，指导学生的解题是其中很关 键的一环。这主要体现在解题教学中的解题示范 和解题训练两个过程中。有时教师给出某道题， 学生不知道如何去解，就要进行指导；有时教师 阅完一个或数个学生的作业，发现了其中某些明 显的缺陷或者错误，也需要进行点评；一个阶段 或一节课或一道题的解题教学结束后，有些解题 规律需要总结，有些数学观需要提示，教师也需 进行指导。 n指导的内容主要包括：指导学生审题，寻找解题 思路，设计解题方案；指导学生写出解法，指导 学生改正错误，反馈知识和方法；指导学生总结 积累解题策略和经验教训等。 n只有通过教师指导学生解题，才有可能透过变幻 的数、式或者图形，严密的逻辑推理，加深学生 对数学知识的理解，从思维定势中解脱出来，拓 宽视野，提高解题能力，改善思维品质，激发创 造意识，为学生掌握科学的解题方法、树立正确 的世界观打下牢固的基础，从而有效地促进教学 目的的实现。 本学期的学习任务 n1、学习解数学题的一般方法。 n2、对高考题开展分类研究，例如，选择题 、填空题、三角函数题和概率统计题，等 等。 n3、写一篇解题研究的小论文。 作业和考试 n1、作业主要是解题研究汇报集和小论文。 n2、考试形式为闭卷考试，平时分占40%。 2011年文函数题 出处：2007年山东理22题 2010部分类似高考试题 2011省内相关题型 2011年文数列题 2011年理数列 题 2008陕理22题