19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 2121 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. .) ) (1) 0 lim cot2 x xx =. (2) 0 sinttdt = . (3) 曲线 0 (1)(2) x yttdt= 在点(0,0)处的切线方程是. (4) 设( )(1)(2)()f xx xxxn=+,则(0) f =. (5) 设( )f x是连续函数,且 1 0 ( )2( )f xxf t dt=+ ,则( )f x =. (6) 设 2, 0 ( ) sin ,0 abxx f x bx x x + = 在0 x =处连续,则常数a与b应满足的关系是. (7) 设tan yxy=+,则dy =. 二、计算题二、计算题( (每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2020 分分. .) ) (1) 已知arcsin x ye=,求 y . (2) 求 2 ln dx xx . (3) 求 1 0 lim(2sincos )x x xx +. (4) 已知 2 ln(1), arctan , xt yt =+ = 求 dy dx 及 2 2 d y dx . (5) 已知 1 (2),(2)0 2 f f =及 2 0 ( )1f x dx = ,求 1 2 0 (2 )x fx dx . 三、选择题三、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1818 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 设0 x 时,曲线 1 sinyx x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若 2 350ab,则方程 53 2340 xaxbxc+= ( ) (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos () 22 yxx =与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体 积为 ( ) (A) 2 (B) (C) 2 2 (D) 2 (4) 设两函数( )f x及( )g x都在xa=处取得极大值,则函数( )( ) ( )F xf x g x=在xa=处 ( ) (A) 必取极大值 (B) 必取极小值 (C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定 (5) 微分方程1 x yye =+的一个特解应具有形式(式中, a b为常数) ( ) (A) x aeb+ (B) x axeb+ (C) x aebx+ (D) x axebx+ (6) 设( )f x在xa=的某个领域内有定义,则( )f x在xa=处可导的一个充分条件是( ) (A) 1 lim ()( ) h h f af a h + +存在 (B) 0 (2 )() lim h f ahf ah h + 存在 (C) 0 ()() lim 2 h f ahf ah h + 存在 (D) 0 ( )() lim h f af ah h 存在 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 求微分方程 2 (1) x xyx ye + =(0)x +满足(1)0y=的解. 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设 0 ( )sin() ( ) x f xxxt f t dt= ,其中f为连续函数,求( )f x. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 证明方程 0 ln1 cos2 x xxdx e = 在区间(0,)+内有且仅有两个不同实根. 七、七、( (本大题满分本大题满分 1111 分分) ) 对函数 2 1x y x + =,填写下表： 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹()区间 凸()区间 拐点 渐近线 八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 设抛物线 2 yaxbxc=+过原点,当01x时,0y ,又已知该抛物线与x轴及直线 1x =所围图形的面积为 1 3 ,试确定, ,a b c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 2121 分分.).) (1)【答案】 1 2 【解析】这是个0型未定式,可将其等价变换成 0 0 型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一：方法一： 000 cos2 lim cot2limlimcos2 sin2sin2 xxx xx xxxx xx = 00 11 limlim sin22cos22 xx x xx =洛. 方法二：方法二： 00 cos2 lim cot2lim sin2 xx x xxx x = 00 12121 limcos2lim. 2sin22sin22 xx xx x xx = 【相关知识点】 0 sin lim x x x 是两个重要极限中的一个, 0 sin lim1 x x x =. (2)【答案】 【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解, 0 sinttdt = 0 00 ( cos )cos( cos )tdtttt dt = 分部法 00sin(00)t =+=+=. (3)【答案】2yx= 【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即 0 ()fx. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)yxx = . 由 y 在其定义域内的连续性,可知 0 (0 1)(02)2 x y = =. 所以,所求切线方程为02(0)yx=,即2yx=. (4)【答案】!n 【解析】方法一：方法一：利用函数导数的概念求解,即 00 ( )(0)(1)(2)()0 (0)limlim xx f xfx xxxn f xx + = 0 lim(1)(2)()1 2! x xxxnnn =+= =. 方法二：方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, ( )(1)(2)()1 (2)()fxxxxnxxxn=+ + (1)(2)(1) 1x xxxn+, 所以 (0)(0 1)(02)(0)00fn=+1 2!nn= =. (5)【答案】1x 【解析】由定积分的性质可知, 1 0 ( )f t dt 和变量没有关系,且( )f x是连续函数,故 1 0 ( )f t dt 为一常数,为简化计算和防止混淆, 令 1 0 ( )f t dta= ,则有恒等式( )2f xxa=+,两边 0 到 1 积分得 11 00 ( )(2 )f x dxxa dx=+ , 即 1 111 1 2 0 000 0 1 (2 )22 2 axa dxxdxadxxa x =+=+=+ 1 2 2 a=+, 解之得 1 2 a = ,因此( )21f xxax=+=. (6)【答案】ab= 【解析】如果函数在 0 x处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0ffaba =+ =. 而 000 sinsinsin (0)limlimlim xxx bxbxbx fbbb xbxbx + + =, 如果( )f x在0 x =处连续,必有(0)(0)ff + =,即ab=. (7)【答案】 2 () dx xy+ 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得 2 sec y dydxdy=+, 所以 222 sec1tan() dxdxdx dy yyxy = + ,(0 xy+). 二、计算题二、计算题( (每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2020 分分.).) (1)【解析】令 x ue=,vx= ,则arcsinarcsin x yeu =,由复合函数求导法则, 222 1111 (arcsin ) 2 111 vv yuueve x uuu = , 即 2 11 2 1 x x ye x e = . 【相关知识点】复合函数求导法则：( ( )yf x=的导数( ( )( )yf xfx=. (2)【解析】利用不定积分的换元积分法, 22 ln1 lnlnln dxdx C xxxx = + . (3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限, 11 00 lim(2sincos )lim1 (2sincos1) xx xx xxxx +=+ 12sincos1 2sincos1 0 lim1 (2sincos1) xx xxx x xx + + =+, 令 2sincos1xxt+ =,则当0 x 时,0t , 则 11 2sincos1 00 lim1 (2sincos1)lim1 xxt xt xxt + +=+, 这是个比较熟悉的极限,即 1 0 lim(1)t t te +=. 所以 0 12sincos1 lim 0 lim(2sincos ) x xx xx x xxe + +=, 而 00 2sincos12cossin limlim2 1 xx xxxx x + =洛, 所以 0 12sincos1 lim 2 0 lim(2sincos ) x xx xx x xxee + +=. (4)【解析】这是个函数的参数方程, 2 2 1 1 1 2 2 1 dy dy dtt dxt dxt dtt + = + , 22 223 2 1111211 ()()() 2 222(2 )4 1 d ydddtdt dxt dxdxtdttdxdtttt dtt + = + . 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ( ) ( ) xt yt = = ,则 ( ) ( ) dyt dxt = . (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, 1111 2222 0000 111 (2 )(2 )(2 )(2 ) 222 x fx dxx dfxxfxfx dx= 分