热传导方程 Heat Equations 齐 海 涛 山东大学（威海）数学与统计学院 htqisdu 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-271 / 51 目录 1热传导方程及其定解问题的导出 2初边值问题的分离变量法 3柯西问题 4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5解的渐近性态 6补充练习 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-272 / 51 1热传导方程及其定解问题的导出 2初边值问题的分离变量法 3柯西问题 4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5解的渐近性态 6补充练习 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-273 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.1 一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 dQ = k1(u u1)dSdt. 假设杆的密度为 ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程. 解:取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 x,x + x的微段的热量平衡. 单位时间从 侧面流入的热量为 dQ1= k1(u u1)lx; 单位时间从 x 处, x + x 处流入的热量为 dQ2= k(x)u x (x,t) l2 4 ,dQ3= k(x + x)u x (x + x,t) l2 4 , 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-273 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.1 一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 dQ = k1(u u1)dSdt. 假设杆的密度为 ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程. 解:取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 x,x + x的微段的热量平衡. 单位时间从 侧面流入的热量为 dQ1= k1(u u1)lx; 单位时间从 x 处, x + x 处流入的热量为 dQ2= k(x)u x (x,t) l2 4 ,dQ3= k(x + x)u x (x + x,t) l2 4 , 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-273 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 故单位时间流入 (x,x + x) 的热量为 dQ = dQ1+ dQ2+ dQ3= x ( k(x)u x ) x l2 4 x k1(u u1)lx. 综上, 从时刻 t1到 t2流入位于 x1,x2 杆段的热量为 t2 t1 x2 x1 x ( k(x)u x ) l2 4 k1(u u1)l dxdt. 而在这段时间内 x1,x2 杆段内各点温度从 u(x,t1) 变到 u(x,t2), 其吸收热量 为 x2 x1 c(u(x,t2) u(x,t1)l 2 4 dx = t2 t1 x2 x1 l2 4 cu t dxdt. 根据热量守恒, 并注意到 x1, x2, t1, t2的任意性, 得所求方程为 u t = 1 c x ( k(x)u x ) 4k1 cl (u u1). 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解:设 N(x,y,z,t) 表示在时刻 t, (x,y,z) 点处扩散物质的浓度, D(x,y,z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为 dm = D(x,y,z)N n dSdt. 因此从时刻 t1到 t2流入区域 ( 为 的表面) 的质量为 t2 t1 D(x,y,z)N n dSdt = t2 t1 $ div(DgradN)dxdydzdt. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-275 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解:设 N(x,y,z,t) 表示在时刻 t, (x,y,z) 点处扩散物质的浓度, D(x,y,z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为 dm = D(x,y,z)N n dSdt. 因此从时刻 t1到 t2流入区域 ( 为 的表面) 的质量为 t2 t1 D(x,y,z)N n dSdt = t2 t1 $ div(DgradN)dxdydzdt. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-275 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 另外, 从时刻 t1到 t2, 中该物质的增加为 $ N(x,y,z,t 2) N(x,y,z,t1)dxdydz = $ t2 t1 N t dtdxdydz. 根据质量守恒, 并注意到 , t1, t2的任意性, 得所求方程为 N t = x ( DN x ) + y ( DN y ) + z ( DN z ) . 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-276 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.3 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0为 初始时刻所储的热量, 则 dQ dt = Q, 其中 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 , 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解:设砼内点 (x,y,z) 在时刻 t 的温度为 u(x,y,z,t), 显然 dQ dt = Q, Q(0) = Q0, Q(t) = Q0et. 易知 t1到 t2时刻, 砼内任一区域 中的热量的增加等于从 外部流入 的热量及砼中的水化热之和, 即 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-277 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.3 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0为 初始时刻所储的热量, 则 dQ dt = Q, 其中 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 , 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解:设砼内点 (x,y,z) 在时刻 t 的温度为 u(x,y,z,t), 显然 dQ dt = Q, Q(0) = Q0, Q(t) = Q0et. 易知 t1到 t2时刻, 砼内任一区域 中的热量的增加等于从 外部流入 的热量及砼中的水化热之和, 即 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-277 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 $ t2 t1 cu t dtdxdydz = $ (Q(t1) Q(t2)dxdydz+ t2 t1 $ x ( ku x ) + y ( ku y ) + z ( ku z ) dxdydzdt = $ t2 t1 dQ dt dtdxdydz+ t2 t1 $ x ( ku x ) + y ( ku y ) + z ( ku z ) dxdydzdt. 注意到 t1, t2及 的任意性, 有 u t = 1 c x ( ku x ) + y ( ku y ) + z ( ku z ) + cQ0e t. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-278 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.4 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0的介质中, 试证: 在常电流作用下导 线的温度满足微分方程 u t = k c 2u x2 k1P c(u u0) + 0.24i2r c , 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, 表示横截 面的面积, 而 k1表示导线对于介质的热交换系数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-279 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 解:与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1到 t2介于 x1,x2 的导线段 的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通 过 x1,x2 这段产生的热量之和, 即 t2 t1 x2 x1 x ( ku x ) dxdt t2 t1 x2 x1 k1P(u u0)dxdt + x2 x1 t2 t1 0.24i 2r dxdt. 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 u t = k c 2u x2 k1P c(u u0) + 0.24i2r c . 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2710 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.5 设物体表面的绝对温度为 u, 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u4, 即 dQ = u4dSdt. 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x,y,z,t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 解:考察边界上的面积微元 dS. 在 dt 时间内, 经边界微元流出的热量为 (k 为热传导系数) ku ndSdt. 由该微元辐射到外部介质的热量为 u4dSdt. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2711 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.5 设物体表面的绝对温度为 u, 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u4, 即 dQ = u4dSdt. 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x,y,z,t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 解:考察边界上的面积微元 dS. 在 dt 时间内, 经边界微元流出的热量为 (k 为热传导系数) ku ndSdt. 由该微元辐射到外部介质的热量为 u4dSdt. 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2711 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为 f 4dSdt. 根据热量平衡有 ku ndSdt = u 4dSdt f4dSdt. 故所求边界条件为 ku n = (u4 f 4). 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2712 / 51 1热传导方程及其定解问题的导出 2初边值问题的分离变量法 3柯西问题 4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5解的渐近性态 6补充练习 齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2713 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.1 用分离变量法求下列定解问题的解: ut= a2uxx(t 0,0 x 0), u(x,0) = f(x) (0