第9章 综合与实践（数学广角）31. 分析与推理一搭配问题是指在生活中，利用排列或组合的知识解决生活中的问题，如:组数、选择出行路线，比赛场次等。1. 意义排列是从n个给定的元素中选出m个元素按照一定的顺序排成一列;组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。2. 排列和组合的最主要区别排列与顺序有关，组合与顺序无关。3.简单的排列方法(1)按顺序选定一个事物放在首位，再把剩下的事物排好顺序。(2)先分组，再在组内按顺序排列。4.简单的组合方法(1)按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。(2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组，再把剩下的事物进行分组组合，不重复、不遗漏。5.口诀:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。二、优化问题在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题，完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间，最小的投人，最少的人力，最快的速度，取得最好的效果，我们称之为统筹或优化问题。如:沏茶问题、烙饼问题和田忌赛马问题等。我们还会遇到“费用最省”、“用时最少”、“面积最大”和“损耗最小”等问题，这些问题往往可以以极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问题，实际上都是“最优化问题”。三、逻辑推理1.基本概念逻辑推理，是指依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。2.基本方法和解题技巧解决推理问题的常用方法有:直接法、假设法、排除法、反证法、图解法和列表法。逻辑推理问题的解决，需要深人地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，在推理过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法”，要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填人表格内。在填表时，对正确的(或不正确的)结果要及时注上“V”(或“X)，以免引起遗忘或混乱。4、 找次品问题 找次品是我们生活中经常遇到的问题，在一些外观看似相同的物品中，有一个质量不同(轻一点或重一点)的物品，需要我们想办法把它找出来。像这类问题就是找次品问题。 用天平找次品的解题策略: 一是把待测物品分成三份。 二是要分得尽量平均，能平均分成三份的，就平均分，不能平均分成三份的，也应使多的与少的一份只差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数会更少。考点精讲分析典例精讲考点1 搭配问题【例1】 用3，5，0三个数字可以组成（ ）个不同的三位数（每个数字不能重复）【精析】简单的排列组合问题，按照一定的顺序来写，做到不重不漏。可分为:百位数字是3的有:305 ,350共2个;百位数字是5的有:503,530共2个，所以总共有4个不同的三位数。【答案】4【归纳总结】注意0不能写在最高位上。【例2】六年级5个班进行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要比赛( )场。【精析】简单的排列组合问题，从左往右依次组合，不重不漏。【答案】六年级5个班记为A,B,C,D,E，与A班进行的比赛有:AB , AC , AD , AE共4场;与B班进行的比赛有:BC,BD,BE共3场;与C班进行的比赛有:CD,CE共2场;与D班进行的比赛有:DE一场。所以总共有4+3+2+1 =10场比赛。【归纳总结】本题考查循环赛场次问题:有n个班(或组)进行单循环比赛，则比赛场次共有(n-1)+(n一2)+2+1场。考点2 优化问题【例3】妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要20分钟，洗菜要3分钟，切菜要2分钟，炒菜要10分钟，如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )时间。【精析】简单的优化问题。可以这样安排:先淘米2分钟，煮饭20分钟，煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜。所以最少要用:2 + 20 = 22(分钟)。【答案】22【归纳总结】本题考查合理安排时间，既要抓住节省时间又不使工序矛盾进行分析设计。解决这类问题要注意哪些事情可以同时做，哪些不能同时做，能同时做的事情，尽量同时做，这样可以节省时间。【例4】如果将齐王的三种马的能力值设定为9,7,5，而田忌的三种马的能力都分别少一些为8,6 ,4，怎样才能使田忌赢呢?【精析】田忌赛马问题。根据三局两胜的规则，让田忌能力值最高的马与齐王的能力值第二的马比赛;让田忌能力值第二的马与齐王能力第三的马比赛;让田忌能力值最低的马与齐王能力值最高的马比赛。这样能保证田忌胜出2局。【答案】列表格如下:第一次第二次第三次齐王975田忌486【归纳总结】田忌赛马问题考查的是对策论，必须齐王先出阵，田忌才可以选择对策。考点3 推理问题【例5】 A,B,C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测。甲说:“A肯定是第一名。”乙说:”A不是最后一名。”丙说:“ A肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是( )。A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定【精析】推理问题，根据“两个互相否定的思想不能同真”，甲和丙的预测互相矛盾，则必然有一人的预测是对的，再经过推论得出结果。根据题意，甲和丙的预测相互矛盾，必一对一错，因为只有一个人的预测是对的，不论甲对还是丙对，乙必错，所以A是最后一名。甲说“A肯定是第一名”与“A是最后一名”相矛盾，所以甲预测错误，则丙预测就是对的。【答案】C【归纳总结】推理的关键是抓住一对截然相反、互相矛盾的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一个必错或必对的说法，作为突破口。考点4 找次品问题【例6】有8个相同的零件和1个稍轻的零件混在一起，用天平秤至少称()次能保证找到那个稍轻的零件。【精析】找次品问题，使用天平比较物体质量的大小，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。将物体尽量平均分成3份，称的次数最少。第一步:把9个零件平均分为三份(3,3,3)，用天平称前两组(3，3)。 (1)如果天平平衡，则稍轻的零件就在第3组里，再把第三组的3个零件平均分为三份(1,1,1),再用天平称前两组，如果平衡，则最后一个就是那个稍轻的零件;如果不平衡，那么天平上升的那边就是那个稍轻的零件。 (2)如果天平不平衡，则把上升的那个托盘中的3零件平均分成三份再称一次就能找到那个稍轻的零件。所以，用天平至少称2次就能找到那个稍轻的零件。【答案】 2【归纳总结】把待测物体尽量平均分成三份，不能平均分的，也使多的和少的一份只差1用天平找次品时，要测物品的个数(只含一个次品)和至少需要的次数与数字3有关。它的规律(在知道物体是较重或较轻的情况下)如下表所示:要测物品的个数其中最大数与3的关系需要的次数23一个31499=332102727=3333288081=33334.如果不知道次品是较轻还是较重的情况下，需要在多测一次。名题精析【例】（西安高新某中入学）甲地有57吨货物运到乙城，大卡车载重量是5吨，小卡车载重量是3吨，耗油量分别是10升和5. 7升，则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省?【精析】最佳策略问题，先求出大卡车和小卡车每吨货物的耗油量，即大、小卡车的运愉成本，然后比较哪种卡车的运愉成本低，在设计方案时尽量选择运愉成本低的卡车，而且尽量满载。【答案】大卡车每吨耗油量:10 5 =2(升)。小卡车每吨耗油量:5.7 3 =1.9(升) 所以尽可能选择小卡车，而且尽量满载;57吨货物选择小卡车来运，需要(辆)耗油量为:1.9 x57=108.3(升) 答:用19辆小卡车来运输，耗油量最省，为108.3升。【归纳总结】做题时，既要考虑运输成本，尽量选择运输成本低的卡车，又要尽量满载。毕业升学训练一、填空题1.由1,2,3这三个数字能组成的三位数一共有( )个，它们的和是( )。2.奥运会上，八个国家，每两个国家赛一场，共要赛( )场。3.笑笑安排时间最合理:起床整理被褥3分钟，刷牙3分钟，洗脸2分钟，听英语录音8分钟。如果六点起床，最快( )时( )分做完这些事情。4.亮亮从学校到少年宫有2条线路，从少年宫到公园有3条线路，那么亮亮从学校到公园共有( )条线路可走。5.小明用平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。为了节约时间，小明要烙7张饼最少需要( )分钟。6.两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一次牌，各出三次赢两次者胜，小红的牌是“9”, “7” ,“5”;，小芳的牌是“8”;“6”;“3”;。当小红出“9”时，小芳出( )才可能赢。二、选择题1.小明、小刚、小强分别担任语文、数学、外语某一门学科的课代表，并分别有篮球、排球、乒乓球三种爱好中的一种，若已知: (1)爱好排球、篮球的和小明一起去游泳; (2)爱好乒乓球的常和数学课代表一起写作; (3)小刚一点也不爱好篮球; (4)语文课代表对乒乓球、排球一窍不通。 由此可以推断，小明、小刚、小强分别担任的学科课代表是( )。 A.外、数、语 B.数、语、外 C.语、外、数 D.不能确定2. A,B,C,D,E五人进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场，现在A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了( )场。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.在10个零件里有1个是次品(次品重些)，用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 A. 3 B. 2 C.4 D. 54.刚接到学校通知，有一个紧急演出，让学校的合唱队去参加，离演出时间很近了，合唱队共有31人，通知一个学生需要1分钟。老师最快( )分钟能通知到这31名同学。 A. 32 B.8 C.16 D. 55.师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列( )方案最省钱。 A. 6条大船 B. 5条大船，1条小船 C. 4条大船，2条小船6.六年级有三个班，每班有两个班长。开班长会时，每次每班只需要一个班长参加。第一次参加会议的有A,B,C;第二次参加会议的有B,D,E;第三次参加会议的有A,E,F。下列说法正确的是( )。 A. B和E同班 B. C和E同班 C. A和F同班 D. C和F同班三、解决问题1.赵、钱、孙三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。赵不在甲厂，钱不在乙厂，在甲厂的不是钳工，在乙厂的是车工，钱不是电工。这三个人分别在哪个工厂?干什么工作?2. 兵兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面、三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号?3. 小华妈妈每天7：30要上班，起床后每项家务所需时间如下：项目穿衣洗刷煮饭菜搞卫生吃饭时间（分）242056（1） 小花妈妈至少要用几分钟完成这些事（2） 小花妈妈必须在几时几分之前起床？4.市第一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计:(1)丙得第一、乙得第二。(2)丙得第二、丁得第三。(3)甲得第二、丁得第四。比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。但以