武邑中学2018-2019学上学期高二期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )A.B.C.D.3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A.B.C.D. 4. 按照程序框图(如右图)执行，第4个输出的数是（ ）A4 B5 C6 D7 5.设，若，则( )A.B.C.D.6在三棱柱中，若，则ABCD7.已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )A.2B.4C.6D.89.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.10.已知双曲线，是左焦点，是右支上两个动点，则的最小值是( )A.4B.6C.8D.1611.已知，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）A B C. D12.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正三角形的边长为1，是其重心，则.14.14.命题“当时，若，则.”的逆命题是 15.已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，则椭圆离心率为.16.如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.19.（12分）已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最值20.已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.(1)证明：直线过定点；(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.21.（本大题满分12分）如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（）求证：；（）求二面角的余弦值.22.（本大题满分12分）已知椭圆过点,且离心率（I）求椭圆的标准方程（II）是否存在过点的直线交椭圆与不同的两点,且满足 (其中为坐标原点)。若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由。23.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离 高二数学(理科)参考答案1-5:CABDB 6-10:BDDAC 11、12：CA13. 14.当时，若，则 15. 16.17.解：(1)由题意得，所以，时，公差，所以，时，公差，所以.(2)若数列为递增数列，则，所以，所以 ，所以，所以.18.解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.则，.的分布列：012的数学期望.19. （12分）【解析】（1）函数的图象过点P（1,2）， （1分）又函数在处取得极值，因 解得， （3分）经检验是的极值点 （4分）（2）由（1）得，令0，得-3或，令0，得-3， （6分）所以，函数的单调增区间为，单调减区间为 （8分）（3）由（2）知，在上是减函数，在上是增函数所以在上的最小值为， （10分）又所以在上的最大值为所以，函数在上的最小值为，最大值为 （12分）20.解：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立得，得，由于，所以，即，即.(*)又因为，代入(*)式得，即，所以或，即或.当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，所以直线恒过定点.(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.21.解：（）在菱形中，.又，面，.（）作的中点，则由题意知，.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，.设平面的一个法向量为，则由，得，令，则，即，同理，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，即，即二面角的余弦值为.22.（1）椭圆过点,且离心率 解得,椭圆的方程为（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点,且满足若直线的斜率不存在,且直线过点,则直线即为轴所在直线直线与椭圆的两不同交点就是椭圆短轴的端点,直线的斜率必存在,不妨设为,可设直线的方程为,即联立,消得,直线与椭圆相交于不同的两点得: 或设,又,化简得,或,经检验均满足式直线的方程为: 或存在直线或满足题意23.解：（1）在中，为中点，所以又侧面底面，平面平面，平面，所以平面 （4分）（2）连结，在直角梯形中，, ，有且，所以四边形是平行四边形，所以由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角因为，在中， ，所以，在中，因为，所以，在中，所以异面直线与所成的角的余弦值为 （8分）（3）由（2）得，在中，所以，又设点到平面的距离，由得，即，解得 （12分）