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. . . . .高考数学压轴题突破训练:数列1. 设函数 (1)若在定义域内为单调函数,求的取值范围; (2)证明:; 1.解:(1)在单调,或在恒成立, 即或在恒成立, 或1 (2) 设=,则,当时,=0 当时,0 递增,当时,0 递减, =0 即(0) 由, 又 左边= 右边 原不等式成立2. 已知,数列满足,。()(1) 判断并证明函数的单调性;(2)数列满足,为的前项和。证明: 2.解:(1)0,仅当时,故在R上单调递增。(2)为奇函数,,由(1)知当时,,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=3. 已知数列的前项和为,若, (1)证明数列为等差数列,并求其通项公式; (2)令,当为何正整数值时,:若对一切正整数,总有,求的取值范围。3.解:(1)令,即 由 ,即数列是以为首项、为公差的等差数列, (2),即 ,又时,各项中数值最大为,对一切正整数,总有恒成立,因此4. 已知数列中,且是函数的一个极值点。(1)求数列的通项公式;(2)若点Pn的坐标为,过函数图象上的点的切线始终与平行(点O为坐标原点);求证:当时,不等式对成立。4.解:(1),时,综上 (2)由得 ,3.(2011年高考浙江卷理科19)(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,成等比数列()求数列的通项公式及()记,当时,试比较与的大小.【解析】() 则 ,() 因为,所以当时, 即;所以当时,;当时, .5. 已知,数列满足, ()求证:数列是等比数列; ()当n取何值时,取最大值,并求出最大值;(III)若对任意恒成立,求实数的取值范围5.解:(I), 即又,可知对任何,所以, 是以为首项,公比为的等比数列(II)由(I)可知= () 当n=7时,; 当n7时,当n=7或n=8时,取最大值,最大值为 (III)由,得 (*) 依题意(*)式对任意恒成立, 当t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意 当t0时,由,可知() 而当m是偶数时,因此t0时,由(), () 设 () =,的最大值为所以实数的取值范围是6. 已知函数()若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;()若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且,已知a1 = 4,求证:an 2n + 2;()在()的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由6.解:(1),要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在内恒大于0或恒小于0,当在内恒成立;当要使恒成立,则,解得,当恒成立,所以的取值范围为(2)根据题意得:,于是,用数学归纳法证明如下:当,不等式成立;假设当时,不等式成立,即也成立,当时,所以当,不等式也成立,综上得对所有时,都有(3) 由(2)得,于是,所以,累乘得:,所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7(2012四川)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距()用a和n表示f(n);()求对所有n都有成立的a的最小值;()当0a1时,比较与的大小,并说明理由考点圆锥曲线的综合;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用。766398 专综合题。解答:解:()抛物线与x轴正半轴相交于点A,A()对求导得y=2x抛物线在点A处的切线方程为,f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,f(n)=an;()由()知f(n)=an,则成立的充要条件是an2n3+1即知,an2n3+1对所有n成立,特别的,取n=2得到a当a=,n3时,an4n=(1+3)n1+=1+2n3+2n3+1当n=0,1,2时,a=时,对所有n都有成立a的最小值为;()由()知f(k)=ak,下面证明:首先证明:当0x1时,设函数g(x)=x(x2x)+1,0x1,则g(x)=x(x)当0x时,g(x)0;当时,g(x)0故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g()=0当0x1时,g(x)0,由0a1知0ak1,因此,从而=6. (2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)已知数列与满足:, ,且()求的值;()设,证明:是等比数列;()设证明:【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.()解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.()证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.(III)证明:由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意(2010江西理数)22. (本小题满分14分高考资源*网)证明以下命题:(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(bc),使得成等差数列。(2) 存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证,;类似勾股数进行拼凑。证明:考虑到结构特征,取特值满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。证明:当成等差数列,则,分解得:选取关于n的一个多项式,做两种途径的分解对比目标式,构造,由第一问结论得,等差数列成立,考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m,n,若m,相似:则三边对应成比例, 由比例的性质得:,与约定不同的值矛盾,故互不相似。(2010安徽文数)(21)(本小题满分13分)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.()证明:为等比数列;()设,求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦,设的圆心为,得,同理得,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即中与的关系,证明为等比数列;(2)利用(1)的结论求的通项公式,代入数列,然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关于数列相邻项与之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时,通常是利用前n项和乘以公比,然后错位相减解决.(2010天津文数)(22)(本小题满分14分)在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.()证明成等比数列;()求数列的通项公式;()记,证明.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。(I)证明:由题设可知,。从而,所以,成等比数列。(II)解:由题设可得所以 .由,得 ,从而.所以数列的通项公式为或写为,。(III)证明:由(II)可知,以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时,设n=2m若,则,若,则 .所以,从而(2) 当n为奇数时,设。所以,从而综合(1)和(2)可知,对任意有(2010天津理数)(22)(本小题满分14分)在数列中,且对任意.,成等差数列,其公差为。()若=,证明,成等比数列()()若对任意,成等比数列,其公比为。【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。()证明:由题设,可得。所以=2k(k+1)由=0,得于是。所以成等比数列。()证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得当1时,可知1,k从而所以是等差数列,公差为1。()证明:,可得,从而=1.由()有所以因此,以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时,设n=2m()若m=1,则.若m2,则+所以(2)当n为奇数时,设n=2m+1()所以从而综合(1)(2)可知,对任意,有证法二:(i)证明:由题设,可得所以由可知。可得,所以是等差数列,公差为1。(ii)证明:因为所以。所以,从而,。于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ,故。从而。所以,由,可得。于是,由(i)可知以下同证法一。宁可累死在路上,也不能闲死在家里!宁可去碰壁,也不能面壁。是狼就要练好牙,是羊就要练好腿。什么是奋斗?奋斗就是每天很难,可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易,可一年一年越来越难。能干的人,不在情绪上计较,只在做事上认真;无能的人!不在做事上认真,只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬!赢一个无悔人生!早安!献给所有努力的人.学习参考
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