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第8章 相量法 复数8.1 正弦量8.2 相量法的基础8.3 电路定律的相量形式8.4 首 页 本章重点 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式 l 重点: 1. 正弦量的表示、相位差 返 回 1. 复数的表示形式 F b Re Im a o |F| 下 页上 页 代数式 指数式 极坐标式 三角函数式 8.1 复数 返 回 几种表示法的关系: 或 2. 复数运算 加减运算 采用代数式 下 页上 页 F b Re Im a o |F| 返 回 则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2) 若 F1=a1+jb1, F2=a2+jb2 图解法 下 页上 页 F1 F2 Re Im o F1+F2 -F2 F1 Re Im o F1-F2 F1+F2 F2 返 回 乘除运算 采用极坐标式 若 F1=|F1| 1 ,F2=|F2| 2 则: 下 页上 页 模相乘 角相加 模相除 角相减 返 回 例1 解 下 页上 页 例2 解 返 回 旋转因子 复数 ej =cos +jsin =1 F ej F Re Im 0 F ej 下 页上 页 旋转因子 返 回 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。 特殊旋转因子 Re Im 0 下 页上 页 注意 返 回 8.2 正弦量 1. 正弦量 l瞬时值表达式 i(t)=Imcos( t+) t i 0 T l周期T 和频率f 频率f :每秒重复变化的次数。 周期T :重复变化一次所需的时间。 单位:赫(兹)Hz 单位:秒s 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT ) 下 页上 页 波形 返 回 l正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 (正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。 l研究正弦电路的意义 正弦函数是周期函数,其加、减、求导、 积分运算后仍是同频率的正弦函数; 正弦信号容易产生、传送和使用。 下 页上 页 优 点 返 回 2.正弦信号是一种基本信号,任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。 对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 下 页上 页 结论 返 回 (1) 幅值 (振幅、最大值)Im (2) 角频率 2. 正弦量的三要素 (3) 初相位 单位: rad/s ,弧度/秒 反映正弦量变化幅度的大小。 相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点,常用角度表示。 i(t)=Imcos( t+) 下 页上 页返 回 同一个正弦量,计时起点不同,初相 位不同。 一般规定:| | 。 =0 =/2 =/2 下 页上 页 i o t 注意 返 回 例 已知正弦电流波形如图,103rad/s, 1.写出 i(t) 表达式;2.求最大值发生的时间t1 t i o 100 50 t1 解 由于最大值发生在计时起点右侧 下 页上 页返 回 3. 同频率正弦量的相位差 设 u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i) 相位差 : = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i 规定: | | (180) 下 页上 页 等于初相位之差 返 回 l 0, u超前i 角,或i 滞后 u 角, (u 比 i 先 到达最大值); l 0, i 超前 u 角,或u 滞后 i 角, i 比 u 先 到达最大值)。 下 页上 页返 回 t u, i u i u i o 0, 同相 = (180o ) ,反相特殊相位关系 t u i o t u i o j= /2:u 领先 i /2 t u i o 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 下 页上 页返 回 例 计算下列两正弦量的相位差。 下 页上 页 解 不能比较相位差 两个正弦量 进行相位比 较时应满足 同频率、同 函数、同符 号,且在主 值范围比较 。 结论 返 回 4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 l周期电流、电压有效值定义 R 直流I R交流 i 物 理 意 义 下 页上 页返 回 下 页上 页 均方根值 定义电压有效值: l 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t+ ) 返 回 下 页上 页返 回 同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系: 若交流电压有效值为 U=220V , U=380V 其最大值为 Um311V Um537V 下 页上 页 注意 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值,如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值。因此,在考虑电器设备的 耐压水平时应按最大值考虑。 返 回 测量中,交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。 下 页上 页返 回 8.3 相量法的基础 1. 问题的提出 电路方程是微分方程: 两个正弦量的相加:如KCL、KVL方程运算: 下 页上 页 R L C + - uC iL u + - 返 回 i1i1+i2 i3i2 角频率 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量, 所以,只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量复数 下 页上 页 I1I2I3 有效值 1 2 3 初相位 变换的思想 t u, i i1 i2 o i3 结论 返 回 造一个复函数 对 F(t) 取实部 任意一个正弦时间函数都 有唯一与其对应的复数函数。 无物理意义 是一个正弦量 有物理意义 3. 正弦量的相量表示 下 页上 页 结论 返 回 F(t) 包含了三要素:I、 、, 复常数包含了两个要素:I , 。 F(t) 还可以写成 复常数 下 页上 页 正弦量对 应的相量 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 注意 返 回 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系: 已知例1 试用相量表示i, u . 解 下 页上 页 例2 试写出电流的瞬时值表达式。 解 返 回 在复平面上用向量表示相量的图l 相量图 下 页上 页 q +1 +j 返 回 4. 相量法的应用 同频率正弦量的加减 相量关系为: 下 页上 页 结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量 的加减运算。 返 回 i1 i2 = i3 下 页上 页 例 返 回 借助相量图计算 +1 +j 首尾相接 下 页上 页 +1 +j 返 回 正弦量的微分、积分运算 微分运算 积分运算 下 页上 页返 回 例 用相量运算: 把时域问题变为复数问题; 把微积分方程的运算变为复数方程运算; 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。 下 页上 页 R i(t) u(t) L + - C 相量法的优点 返 回 正弦量相量 时域 频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。 正弦波形图 相量图 下 页上 页 注意 不 适 用 线 性 线 性 1 2 非 线性 返 回 8.4 电路定律的相量形式 1. 电阻元件VCR的相量形式 时域形式: 相量形式: 相量模型 uR(t) i(t) R + - 有效值关系 相位关系 R + - UR u 相量关系: UR=RI u=i 下 页上 页返 回 瞬时功率 波形图及相量图 i to uR pR u=i URI 瞬时功率以2交变,始终大于零,表 明电阻始终吸收功率 同 相 位 下 页上 页返 回 时域形式: 相量形式: 相量模型 相量关系: 2. 电感元件VCR的相量形式 下 页上 页 有效值关系: U= L I 相位关系: u=i +90 i(t) uL(t ) L + - j L + - 返 回 感抗的性质 表示限制电流的能力; 感抗和频率成正比。 XL 相量表达式 XL=L=2fL,称为感抗,单位为 (欧姆) BL=-1/ L =-1/2fL, 称为感纳,单位为 S 感抗和感纳 下 页上 页返 回 功率 t i o uL pL 2 瞬时功率以2交变,有正有负,一周期内刚 好互相抵消,表明电感只储能不耗能。 i 波形图及相量图 电压超前 电流900 下 页上 页返 回 时域形式: 相量形式: 相量模型 iC(t) u(t) C + - + - 相量关系: 3. 电容元件VCR的相量形式 下 页上 页 有效值关系: IC= CU 相位关系: i=u+90 返 回 XC=-1/ C, 称为容抗,单位为 (欧姆) B C = C, 称为容纳,单位为 S 容抗和频率成反比 0, |XC| 直流开路(隔直) ,|XC|0 高频短路 |XC| 容抗与容纳 相量表达式 下 页上 页返 回 功率 t iC o u pC 瞬时功率以2交变,有正有负,一周期 内刚好互相抵消,表明电容只储能不耗能。 u 波形图及相量图 电流超前 电压900 下 页上 页 2 返 回 4. 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式 来进行计算。因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示: 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL;而任一回路所有支路正弦电压用 相量表示时仍满足KVL。 下 页上 页 表明 返 回 例1 试判断下列表达式的正、误。 L 下 页上 页返 回 例2已知电流表读数: A18A 下 页上 页 6AA2 A1 A0 Z1 Z2 A2 A0? I0max=? A0 A0I0min=? ?A2 A0 A1 解 返 回 例3 解 相量模型 下 页上 页 + _ 15 u 4H 0.02F i j20 -j10 + _ 15 返 回 下 页上 页 j20 -j10 + _ 15 返 回 例4 解 下 页上 页 + _ 5 uS 0.2F i 相量模型 + _ 5 -j5 返 回 例5 解 下 页上 页 j40 jXL 30 C B A 返 回 例6 图示电路I1=I2=5A,U50V,总电压与总电流 同相位,求I、R、XC、XL。 解法1 令等式两边实部等于实部,虚部等于虚部 下 页上 页 jXC + _ R jXL UC + - 返 回 下 页上 页 画相量图计算 jXC + _ R jXL UC + - 解法2 返 回 例7 图示电路为阻容移项装置,如要求电容电压 滞后与电源电压/3,问R、C应如何选择。 解1 画相量图计算 上 页 jXC + _ R + - 解2 返 回
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