课程指导课四 第4章 振动 4.1 简谐振动及其描述 4.2 简谐振动的动力学方程 4.3 简谐振动的能量 4.4 简谐振动的合成 4.5 阻尼振动 受迫振动 共振 教师：郑采星 大学物理 1 基本要求 教学基本内容、基本公式 第 4章 振动 掌握简谐简谐 振动动及其特征量（频频率、周期、振幅和周相），掌握旋转转矢 量法。能建立谐谐振动动运动动学方程。理解谐谐振动动的能量。了解阻尼振动动 、受迫振动动、共振。掌握同方向同频频率谐谐振动动的合成。了解同方向不 同频频率谐谐振动动的合成，相互垂直的谐谐振动动的合成。了解频谱频谱 分析。 1. 振动、简谐振动 任何物理量在某值附近变化都称振动。 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或 正弦)规律随时间变化。 简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位） 振幅 A 周期T 和频率 相位 初相位 2 谐振动微分方程 该方程的通解可写为： A和0由初始条件确定 动力学分析： 物体所受的力F跟位移x正比反向，物体作谐谐振动动。 物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐谐振动动。 固有(圆)频率，由系统内在性质所决定。 3 2. 简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例) 动能 势能 系统总的机械能： 简谐振动系统机械能守恒 3. 简谐振动的合成 (1)两个同方向同频率简谐振动的合成 合振动仍是简谐振动,其频率与分振动的频率相同。 若两分振动同相 20 10 =2k ( k = 0,1,2, ) 则A=A1+A2 , 两分振动相互加强 若两分振动反相 20 10 =(2k+1) ( k = 0,1,2, ) 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱 4 (2)同方向不同频率的两个简谐振动的合成 两个简谐振动的频率1和2很接近，合成产生拍现象。 拍频: 单位时间内强弱变化的次数 (3)两个同频率相互垂直的简谐振动的合成 合运动一般一个椭圆。 (4)方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 两振动的频率成整数比，合运动轨迹称为李萨如图形。 两个简谐振动合成得： 5 1. 一质质点作简谐简谐 振动动，周期为为T当它由平衡位置向x轴轴正方向运 动时动时 ，从二分之一最大位移处处到最大位移处这处这 段路程所需要的时时 间为间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4 旋转矢量法 首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图， 然后，再画最大位移处旋转矢量图。 设所求的时间为t，则有 C 6 2. 如图图所示，质质量为为m的物体，由劲劲度系数为为k1和k2的两个轻弹轻弹 簧 连连接到固定端，在水平光滑导轨导轨 上作微小振动动，其振动频动频 率为为 (A) (B) (C) (D) D 弹簧(上)可视为 两弹簧(下)的串联 7 设2个弹簧的弹性系数分别为k1，k2，他们的伸长量分别是x1和x2， 那么有关系： 而同一根绳子上的张力相等，也就是说2个弹簧中的张力相等，即有： 联立2式，可解出： 对于等效的k，有所以 8 3. 一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质 点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) /6 (B) 5/6 (C) -5/6 (D) -/6 (E) -2/3 答案：(C) 参考解答： 令简谐振动的表达式： 对对 t 求导导数得速度表达式： 在本题题中， 考虑虑 即 9 4. 一物块悬块悬 挂在弹弹簧下方作简谐简谐 振动动,当这这物块块的位移等于振幅的一半时时 ,其动动能是总总能量的_（设设平衡位置处势处势 能为为零）当这这物块块在 平衡位置时时，弹弹簧的长长度比原长长长长l，这这一振动动系统统的周期为为 _ 3/4， 弹簧原长 挂m后伸长 某时刻m位置 伸 长 平衡位置 位移等于振幅的一半时 10 5. 图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的 合成结果，则合振动的方程为x = x1+ x2 = _(SI) 设： 同理： 11 6. N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, , 2, ., 依次差一个恒量 ，求合振动的振幅。 设单缝处的波阵面分成N个（N为很大的 数）等宽的面元（垂直于画面）。 假设每一个面元在P点引起的光波振幅 为，根据多个等幅同频振动的合振幅 公式，可以分析单缝衍射光强分布， 单缝衍射示意图 为光栅衍射光强分布奠定了基础；也可 以说是为光的衍射定量分析提供了一种 巧妙的方法。 迁移与应用 12 N个同方向、同频率的简谐 振动，它们的振幅相等，初 相分别为0, , 2, ., 依次差一个恒量 ，振动表 达式可写成 采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐 的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的 合成如下图所示： 多个同方向同频率简谐振动的合成 合振动的频率与分振动的频率相同。 合振动的振幅和初相是分析的关键! 13 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为,上图中 各个矢量 的起点和终点都在以C 为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得 14 在三角形OCM中,OM 的长度就是 合振动的振幅A,角度MOX就是合 振动的初相，据此得 考虑到 15 7. 分别别敲击击某待测测音叉和标标准音叉，使它们们同时发时发 音，听到时时强时时 弱的拍音若测测得在20 s内拍的次数为为180次，标标准音叉的频频率为为300 Hz，则则待测测音叉的频频率为为_ 拍频: 单位时间内强弱变化的次数 8. 图为图为 两个互相垂直的谐谐振动动合成运动动的轨轨迹若 且动动点运动动方向如图图所示，则则y = _ 查阅教材李萨如图形，为 16 对结果进行核对 17 9. 一质质点在x轴轴上作简谐简谐 振动动，选选取该质该质 点向右运动动通过过A点时时作为计时为计时 起点( t = 0 )，经过经过 2秒后质质点第一次经过经过 B点，再经过经过 2秒后质质点第二次经经 过过B点，若已知该质该质 点在A、B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求： (1) 质质点的振动动方程； (2) 质质点在A点处处的速率 解： 可知 (1) 以的中点为坐标原点，x 轴指向右方 t = 0时时， t = 2s时时， 由上二式解得 因为为在A点质质点的速度大于零，所以 A和B所对应的旋转 矢量在同一直线上。 18 9. 一质质点在x轴轴上作简谐简谐 振动动，选选取该质该质 点向右运动动通过过A点时时作为计时为计时 起点( t = 0 )，经过经过 2秒后质质点第一次经过经过 B点，再经过经过 2秒后质质点第二次经经 过过B点，若已知该质该质 点在A、B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求： (1) 质质点的振动动方程； (2) 质质点在A点处处的速率 解： t = 0时时， 振动方程 (2) 速率 当t = 0 时时，质质点在A点 19 10如图图1所示，一定滑轮轮的半径为为R，转动惯转动惯 量为为I，其上挂一轻绳轻绳 ， 绳绳的一端系一质质量为为m的物体，另一端与一固定的轻弹轻弹 簧相连连，如图图所 示设弹设弹 簧的劲劲度系数为为k，绳绳与滑轮间轮间 无滑动动，且忽略轴轴的摩擦力及 空气阻力现现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证证明物体作 简谐简谐 振动动，并求出其角频频率 解：取如图图x坐标标，平衡位置为为原点O，向下为为正 ，m在平衡位置时弹时弹 簧已伸长长x0 设设m在x位置，分析受力, 这时弹这时弹 簧伸长长 由牛顿顿第二定律和转动转动 定律列方程： 联立解得 由于x系数为为一负负常 数，故物体做简谐简谐 振 动动，其角频频率为为 20 1. 简谐振动的初相0是不是一定指它开始振动时刻的位相？ 参考解答： 对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原 点的时刻不同，0值就不同。 00 0 例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，0则值等于零； 如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，0则等于。 由于0是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。 简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。 研讨题 21 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量， 弹簧振子的振动周期将变大还是变小？ 讨论 变大变小 参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大 则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振 子的周期肯定会变大。 若振子的质量为M，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为k，可以计算 出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为 研讨题 22 解：平衡时0点为坐标原点。物体运动到x处时，速度为v. 设此时弹簧的长度为L, 弹簧元dl的质量 位移为： x x M 0 dll 例：劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为 M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。( m M ) 设弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律 速度为： 弹簧动能： 物体动能： 系统弹性势能为 23 x x M 0 dll 例：劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量 为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。( m M ) 弹簧动能： 物体动能： 系统弹性势能为 简谐振动的动力学解法 2. 由分析能量出发 ( 将能量守恒式对t 求导 ) 系统机械能守恒，有 将上式对时间求导，整理后可得 因此，弹簧质量小于物 体质量，且系统作微运 动时，弹簧振子的运动 可视为是简谐运动。 24