足球中的数学知识知多少 ？ But 怎样才能预测球是 否能射进呢？ 你有哪些好的想法 呢？ 其实，这涉及到一个概率问题 概率是什么？ 概率 事件与可能性 概率的求法与应用 最基础知识 事件 确定事件：必然事件和不可能事件 不确定事件：随机事件 可能性 事件发生的可能性，即事件的概率 最简单的事件 掷一枚（或一次）均匀的硬币与正多面体 摸一个大小和质量相同的球 旋转一个（或一次）均匀等分的转盘 类似于上述实验的生产、生活中的事件 最基本的方法 实验观察法 重复实验找规律 事物分析法 分析事物的均匀性过程的随机性、均等性 统计推断法 统计事件发生的频率推断稳定性 最基本的研究思想 随机思想 事件的发生不以人们的主观意识为转移，事件 发生的不确定性、随机性、可能性 不确定的观点 用不确定的观点认识和理解世界 概率的主要内容 随机事件与事件的概率 列表和画树状图列出所有可能的结 果 求概率的方法 求概率方法的应用 课程目标 在具体情境中了解概率的意义,运用列举法( 包括列表、画树状图)计算简单事件的概率 通过实验,获得事件发生的概率;知道大量重 复实验时频数可作为事件发生概率的估计 值 通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解 决一些实际问题. 内容解读 随机事件：指不确定事件,可能发生,也可 能不发生。 用不确定的观点认识与理解它的发生与不 发生; 用可能性表述（而不是分类讨论）它发生 的数量规律 （概率）; 可能发生,不一定发生,更不是已经发生了。 内容解读 事件的概率 描述定义,表示事件发生的可能性大小的数值（ 数值含义）; 古典定义,表示事件可能发生的结果数占所有等 可能结果数的比值（比值含义）; 几何定义,表示事件可能发生的点所在区域的面 积占所有等可能点所在区域面积的比值（比值 含义）; 统计定义,表示在重复实验中事件发生的频率的 稳定性（隐定值含义）。 内容解读 求概率的方法 列举法 判断每个结果发生的可能性是否相等如果都相 等,可采用列举法；如果不都相等,则不能用列举 法。 几何法 所有可能发生的点（结果）不能一一列出通过 计算区域的面积求面积比值。 频率估计法 一个重复实验获得事件的一个频率值,就直接用这个 频率作为概率的估计值；几个重复实验获得一组频 率数据,就用频率的平均值作为概率的估计值。 操作与运用 有一个抛两枚硬币的游戏,规则是:若出现两 个正面,则甲赢;若出现一正一反,则乙赢;若 出现两个反面,则甲.乙都不赢. 1. 这个游戏是否公平?请说明理由; 2. 如果你认为这个游戏不公平,那么请你改变游 戏规则,设计一个公平的游戏;如果你认为这个 游戏公平,那么请你改变游戏规则,设计一个 不公平的游戏; 课后思考 所有可能发生的“情况”与“结果” 有序结果与无序结果 无放回摸出与有放回摸出。 相同事件概率不等与不同事件概率相 等 （等概率事件）。 给出条件相同与不同,随机过程相同与不 同。 观察与学习 我们生活在几何的世界里 球？ 球的概念与性质 课程目标 掌握球的定义、表示方法及其有关概念; 掌握球的截面性质; 掌握地球的经度、纬度，理解实际应用; 掌握球面上两点间的距离定义及求法。 最基本的概念 球的定义 球的旋转定义 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球 面。球面所围成的几何体叫做球体。 球的集合定义 与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的 集合叫做球体，简称球。 球心 半圆的圆心，用字母O来表示 半径 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径（线 段OP)。 直径 球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径（线段AB) 。 球体与球面的区别 球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体，它包括球面和球面所 包围的空间 想一想 怎样画球？ 什么是球的截面？ 球面距离 想一想 假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设想 一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程 大约是多少呢? 北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? 北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? 这无数条弧长哪条最短? 球面距离 定义： 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过 这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度. 即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点 之间的劣弧的长度. 球面距离 两点的球面距离公式 地球的经纬线 地球的经度 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆. 某点的经度是经过这点的 经线和地轴确定的半平面 与0度经线(本初子午线) 和 地轴确定的半平面所成二 面角的度数. 由地理知识知： AOB为 P点所在经线的经度. 地球的经纬线 地球的纬度 赤道是一个大圆，其它 的纬线都是小圆 某点的纬度就是经过这 点的球半径与赤道面所 成角的度数。 由地理知识知： AOP 的度数为P点纬度 地球的经纬线 经度 经线上的度数叫做经度 经度的概念与二面角的度数有关 经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小 若旋转是向东进行的，则点P的经度就是东经多少度 若旋转是向西进行的，则点P的经度就是西经多少度 纬度 与赤道所在平面平行的截面圆 纬线上的度数叫做纬度 纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度 数，即线面角的度数 若点P在北半球，就是北纬多少度； 若点P在南半球，就是南纬多少度 练习 设地球的半径为R，在北纬30 纬线上有甲 乙两地，它们的经度相差120 ，那么这两 地的纬线的长为（）。 球的体积与表面积 学习目标 掌握球的体积、表面积公式 掌握球的表面积公式、体积公式的推到过 程 会用球的表面积公式、体积公式解决相关 问题 球的体积 R 球的体积 圆面积的导出公式 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后 如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是 边长分别是 启示 即先把半球分割成n部分，再求出每一部分 的近似体积，并将这些近似值相加，得出 半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的 情形，由半球的近似体积推出准确体积 分割 求近似 和 华为 准 确和 球的表面积和体积公式 S=4r2 V=(4/3)r3 怎样你遇到的球形的S&V呢？ 不知道半径怎么办？ 可以间接地求出体积吗？ 我还可以用其它的方法吗？ 写下你的探究过程， 下节课分享 与足球相关的数学知识分享 我知道你曾经思考过？ 由足球的几何结构引发的问题 足球上美丽的构图是如何形成的？ 在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边形 ？它们是如何放置的？ 每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角各 是多少度？面积是多少？ 由足球比赛引发的问题 足球运动员怎样才能把球射进球门 怎样才能知道一个运动场是否适合做足球场地 你曾经遇到过吗？ 看足球，解方程 看场地，做判断 看带球，做决策 看射门，做预测 看积分，做分析 看足球，解方程 有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮 为正五边形，白皮为正六边形，（如图1），如果缝制 好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块 （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 解析： 观察图形，每块黑皮是五边形，而每块白皮是六边形，每个 黑皮的五边形分别与白皮的边缝合，而每块白皮的三条边与 黑皮缝合，另外三条边分别与白皮缝合，设白皮有x块，则 共有6x条边，这6x条边里与黑皮缝合的有3x条边，已知黑皮 有12块，每块有5条边，因此黑皮共有51260（条边）， 这60条黑边与3x条白边缝合，从而3x60，x20（块）， 故这个足球有白皮20块 看场地，做判断 一个长方形足球场的长为xm，宽为70m如果它的 周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围 ，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛（ 注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之 间，宽在64m到75m之间） 解析： 由题意可列不等式组 ，解不等式组得105x108，而100 105x108110，647075，因此这个球场可以用作 国际足球比赛 看带球，做决策 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方 球门MN进攻.当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点 ，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速 将球回传给乙，让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他 因素) 解析： 迅速回传乙，让乙射门较好，在不考虑其他因素的情 况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较 好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角 的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图2所 示，则AMCNB，即BA，从而B处对 MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些. 看射门，做预测 在一场足球赛中，一队员从球门正前方12m处挑射 ，当球飞行水平距离3m时，球高为3m；当球飞行 水平距离为8m时球高为4m，且球门框高2.5m，问 球能否射进？ 解析： 以球飞出时为原点建立坐标系（如图3），据已知条件可求 得足球飞行的路线（即抛物线）为 ，x12代入抛物线得 y1.22.5 如此射门能进球 看积分，做分析 在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3 分，负队得0分，平局两队各得1分小组赛结束后，总积分高的 两队出线，进入下一轮比赛如果总积分相同，还要按进一步的 规则排序 （1）一个队为了晋级下一轮，至少要积几分才能保证必然出线？ （2）一个队只积3分，这个队有可能出线吗？为什么？ 解析： （1）4个队单循环赛要赛6场，每场比赛最多产生3分，6场 比赛最多产生18分若某队积6分，则剩下12分，可能有另 两个队也各得6分，这样就要按进一步规则排序，因此该队 有可能不出线；若一个队积7分，则剩下11分，这样另外三 个队中不可能再有两个队积分等于或者超过7分，这样该队 必然出线因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分7分才 能保证必然出线 （2）有可能6场比赛都是平局，4个队都只得了3分，按进 一步规则排序，该队如果处于前两位，就有可能出线 课后练习 有一种足球由32块黑白相同的牛皮缝制而 成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形， 一块白皮周围如图有3块三块黑皮，每块黑 皮周围有5块白皮，请问缝制一个足球需要 多少块白皮，多少块黑皮？ 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 想想你有多少中解法 解法一：从五边形和六边形的边数 着手 分析：一个正五边形有5条边，一个正六边形 有6条边，从图中可以发现每个正六边形中恰 好有3条边与五边形的边重合，而正五边形的 每条边都与正六边形的边重合。因此，六边形 的总边数为五边形的总边数的2倍。 解：设足球中有x块白皮，则有(32-x)块黑皮。则 可列方程为 6x=25(32-x) 解之得 x=20 当x=20时， 32-x=12 即：缝制一个足球需要20块白皮，12块黑皮。 解法二：从五边形和六边形的顶点 个数出发 分析：从图形中可以发现，顶点的相交处总是 两个六边形的顶点和一个五边形的顶点，因此 ，六边形的顶点总数为五边形