Chapter 1(1)Chapter 1(1) 函数及其图形函数及其图形 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。 微积分(Calculus)是一门以变 量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 教学要求： 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法; 2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性; 3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念; 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形; 5. 会建立简单应用问题中的函数关系式. 重点：掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式的 关系，分段函数是否是初等函数. 1. 定义 设x与y是两个变量，分别在实数集合A与B中取值. 对每一个值xA，按照某一法则，y存在着唯一确定 的值yB与之对应，记为f(x)(xf(x),则称y是x的函 数，或称这种对应关系 f 为函数，记作 因变量自变量 数集A叫做这个函数的定义域 注意 (1)定义域和对应法则是函数的两要素. 要判断两函数是 否为同一函数也得从两要素入手. (3)单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数 值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做 多值函数 (4)只有一个自变量的函数，称为一元函数. 2. 定义域 (1)由实际问题决定. (2)自然定义域. 当函数由公式（表达式）给出时，使公 式有意义的自变量的取值范围. 如： 分式的分母不为0； (3)定义域的表示法： 不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法. 区间:是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 邻域: ex1. 求函数的定义域 Solution. 所以函数的定义域为(1,2. Solution. ex3. 函数 f 与 g 是否是同一函数？ 3. 函数的图形 4. 分段函数 对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数. (1) 绝对值函数 (2) 符号函数 1 1 x y o (3) 取整函数 y=x x表示不超过x的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o (4) (Dirichlet)狄利克雷函数 有理数点无理数点 1 x y o (5) 取最值函数 y x o y x o (6) 整标函数 以自然数为自变量的函数: 图形为一些离散的点构成. 1. 函数的单调性 则称 f(x)在I上严格单调上升或严格单调增（严格单调 降下或严格单调减）. 则称 f(x)在I上单调上升或单调增(单调降下或单调减). 以上函数统称为单调函数，I称为单调区间. 由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如 2. 函数的有界性 通常函数的有界性与区间有关， 3. 函数的奇偶性 偶函数图形关于y轴对称 y xox-x 奇函数图形关于原点对称 y xox -x 注意： (1) 若f(x)的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇 函数或偶函数. 即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. (3) 奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数， 奇函数的和与差仍是奇函数； 两个奇（或偶）函数的商是偶函数； 奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数； 有限个偶函数的积仍是偶函数； 偶数个奇函数的积是偶函数. 4. 函数的周期性 任一周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期 中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小周 期，简称周期. 1. 四则运算 2. 复合函数 定义： 注意： (2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 复合函数的求法： (1)对于非分段函数常用直接代入的方法； (2)对于分段函数常用讨论的方法. 3. 反函数 定义： 这样的对应关系所决定的Y到X的函数，称为y=f(x)的 反函数，记为 注意： (1)反函数的定义域和值域恰好是原来函数的 值域和定义域. D W D W (2)直接函数与反函数 的图形关于y=x对称. 反函数的求法： (1)一般先从方程y=f(x)中解出x, 然后再将所得结果中的 x与y互换位置即可; (2)对分段函数,只要分段求出反函数便得. 1.基本初等函数 (1)常数函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)对数函数 (5)三角函数 正弦函数余弦函数 正切函数余切函数 正割函数余割函数 (6)反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 并非所有的函数都是初等函数, 分段函数一般不是初等函数. 但也有例外! 3.双曲函数与反双曲函数 -都是初等函数. Solution. Solution. 由此可求得x的取值范围，即为定义域. Solution. 易知该函数的定义域为： Solution. Solution. 因为 所以 Proof. 两式联立可求得， Proof. 由单调性及已知不等式有， Solution. 故所求反函数为 Solution. The end 大学数学 一元函数微积分与无穷级数 线性代数与空间解析几何 多元函数微积分与常微分方程 概率论与数理统计 购买练习册与典型习题解答通知 时间: 9月28日(星期四)下午2:306:00 地点: 二教 216(二楼西) 价格: 40元 / 套