第二章 直流电路的分析 2.1 电阻的串并联等效变换 2.2 电阻的星形与三角形连接的等效变换 2.3 支路电流法 2.4 电源的等效变换 2.5 叠加定理 2.11 互易定理 2.7 等效电源定理 2.8 节点电压法 2.9 网孔电流法与回路电流法 2.10 特勒根定理 2.6 替代定理 2.1 电阻的串并联等效变换 可以用Req替代的条件：端子1-2以右部分有相同的 伏安特性。 Req称为等效电阻。 用等效电阻替代电路的某部分以后，未被替代部 分的电压、电流应保持不变。即“对外等效”，对内不一 定等效。例如，要求解实际电路1-2右端的i1等，须用原 电路求。 i4 2 i3 US + _ i u + _ rR1 R2 R3 R4 1 i1 i2 i5 US + _ i u + _ r Req 2 1 1. 电路特点: 2.1.1 电阻串联 (Resistors Series) + _ R1Rn + _ uk i + _ u1+ _ un u Rk (a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。 结论： 等效 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 2. 等效电阻Req + _ R1Rn + _ uk i + _ u1+ _ un u Rk u + _ Req i KVL u= u1+ u2 +uk+un 由欧姆定律 uk = Rk i( k=1, 2, , n ) u= (R1+ R2 +Rk+ Rn) i 、 u= Reqi 、设端口间只通过一个电阻连接，则 Req=( R1+ R2 +Rn) = Rk、由等价条件得 3. 串联电阻上电压的分配 显然 即电压与电阻成正比 故有 例：两个电阻分压, 如下图 + _ u R1 R2 + - u1 - + u2 i + _ u R1 Rn + _ u1 + _ un i ( 注意方向 !) 4. 功率关系 p1=R1i2， p2=R2i2， pn=Rni2 p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn 总功率 p=ui=Reqi i=Reqi2 =(R1+ R2+ +Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2+ pn 故可以直接用等效电阻计算串联电路“内部”的总功率。 （对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。） 2.1.2 电阻并联 (Parallel Connection) in R1R2RkRn i + u i1i2ik _ 1. 电路特点: (a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。 等效 令 G =1 / R, 称为电导 Geq=G1+G2+Gk+Gn= Gk= 1/Rk in R1R2RkRn i + u i1i2ik _ 2. 等效电阻Req + u _ i Req i = i1+ i2+ + ik+ in由KCL: 故有i = u/R1 +u/R2 + +u/Rn=u(1/R1+1/R2+1/Rn) 、 由等价条件得1/Req= 1/R1+1/R2+1/Rn、 、 设端口间只通过一个电阻连接，则 i = u / Req Req=1.36.513 由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1 故 Req=1/G=1 3. 并联电阻的电流分配 由 即 电流分配与电导成正比 故 对于两电阻并联 R1R2 i1 i2 i 131.36.5 Req=? 4. 功率关系 p1=G1u2， p2=G2u2， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn 总功率 p=ui=uuGeq=Gequ2 = (G1+ G2+ +Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2+ pn 故可以直接用等效电阻计算并联电路“内部”的总功率。 （对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。） 2.1.3 电阻的串并联 要求：弄清楚串、并联的概念。 例1. Req = 4(2+36) = 2 2 4 3 6 Req 计算举例： Req = (4040)+(303030) = 30 40 30 30 40 30 Req 40 40 30 30 30 Req 例2. 例3. 解： 用分流方法做 用分压方法做 求：I1 ,I4 ,U4 + _ 2R2R2R2R RRI1I2I3I4 12V + _ U4 + _ U2 + _ U1 （ Y 形连接与形连接） 星形连接 Y 形 三角形连接 形 R12 R31 R23 i3 i2 i1 1 23 + + + u12 u23 u31R1 R2R3 i1Y i2Y i3Y 1 23 + + + u12Y u23Y u31Y 2.2 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换 下图是电阻的两种连接方式： 下面要证明：这两个电路，当它们的电阻满足一定的关系时 ，是能够相互等效的。 等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y , 且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y 显然、Y连接方式，既非串联也非并联。特点 ：都通过3个端子，与外部相连。 Y连接 连接 R12 R31 R23 i3 i2 i1 1 23 + + + u12 u23 u31R1 R2R3 i1Y i2Y i3Y 1 23 + + + u12Y u23Y u31Y Y接: 用电流表示电压 u12Y=R1i1YR2i2Y 接: 用电压表示电流 i1Y+i2Y+i3Y = 0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y i3 =u31 /R31 u23 /R23 i2 =u23 /R23 u12 /R12 R12 R31 R23 i3 i2 i1 1 23 + + + u12 u23 u31 R1 R2R3 i1Y i2Y i3Y 1 23 + + + u12Y u23Y u31Y i1 =u12 /R12 u31 /R31 (1) (2) 由式(2)解得 ： i3 =u31 /R31 u23 /R23 i2 =u23 /R23 u12 /R12 i1 =u12 /R12 u31 /R31 (1) (3) 根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果： 或 注：式(2)中前3个式子中，只有2个式子是独立的。 类似可得到由接 Y接的变换结果： 或 上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y接 接的 变换结果直接得到。 简记方法： 特例：若三个电阻相等(对称)，则有 R = 3RY ( 大Y小 ) 1 3 或 注意： (1) 等效对外部(端子以外)有效，对内不一定成立。但 可以用等效电路计算功率* 。 (2) 等效电路与外部电路无关。 应用：简化电路 例1. 桥 T 电路 1k 1k1k 1kR E 1/3k1/3k 1kR E 1/3k 1k R E 3k3k 3k 例2. 双 T 网络 对于有n个节点、b条支路的电路。若以支路电流、支路电压 为电路变量 (共有2b个未知变量:Uk、ik，k=1,2,b) 2.3 支路电流法 (branch current method ) (2) 由KCL得，(n-1)个独立方程； (变量是ik) (3) 由KVL得，(b-n+1)个独立方程； (变量是Uk) (4) 由VCR得，b个独立方程。 (变量是Uk、ik) 若将(4)中Uk以ik的表达式代入(3)，则由(2)、(3)可得b个以ik 为未知数的独立方程。未知数也是b个，故可求解。此即为 支路电流法。 (1) 选定支路电流、支路电压为关联参考方向； 求解上述2b个独立方程，可得支路电流、支路电压。此法称2b法。 (一)2b法 举例说明： uS R1 R2 R3 R4 R5 R6 + 1 2 3 4 b=6， n=4 独立方程数应为2b=12个。 支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电 路的方法。 支路(电流) 法的一般 步骤： (1) 选定各支路电流的参考方向； (2) 选定(n1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b(n1)个独立回路，按指定回路的绕向 ，列写其以支路电流表示的KVL方程。 (即将元件特性代入) i5 i4 i1 i2 i3 i6 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + uS 1 2 3 4 (1) 标定各支路电流、电压的为关联参 考方向 u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3， u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 =uS+R6i6 (a) (b=6，6个VCR方程) (2) 对(n-1)=3个节点，列KCL独立 方程 节点 ：i1 + i2 i6 =0 节点 ： i2 + i3 + i4 =0 节点 ： i4 i5 + i6 =0 (b) (一般出为正，进为负) R1 R2 R3 R4 R5 R6 + i2 i3i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 (3)选定图示的3个回路及绕向，列 写关于支路电压的KVL方程。 回路1：u1 + u2 + u3 = 0 回路2：u3 + u4 u5 = 0 回路3：u1 + u5 + u6 = 0 (c) 1 2 3 (b=6，n=4。3个KVL方程) 式(a)、(b)和(c)共2b=12个独立方程，可 以求得2b=12个变量：U1、U2、U3、U4、 U5、U6、i1、i2、i3、i4、i5、i6 。在此基 础上可以进一步作其它分析。 i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0 R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0 将式(a)的6个VCR方程代入式 (c)，消去支路电压，得到关于支路 电流的方程如下： (二)支路电流法 R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 =uS R1 R2 R3 R4 R5 R6 + i2 i3i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 1 2 3 KCL KVL (一般电流法中，表达成 Rk ik = uSi) 例1. 节点a：I1I2+I3=0 (1) n1=1个KCL方程： I1 I3 US1US2 R1 R2 R3 b a + + I2 US1=130V, US2=117V, R1=1, R2=0.6, R3=24. 求各支路电流及电压源 各自发出的功率。 解 (2) b( n1)=2个KVL方程： R2I2+R3I3= US2 U=US R1I1R2I2=US1US2 0.6I2+24I3= 117 I10.6I